Cho tổng gồm 2014 số hạng: S=14+242+343+444+...+201442014S=14+242+343+444+...+201442014. Chứng minh rằng S<12
Những câu hỏi liên quan
Cho tổng gồm 2014 số hạng: \(S=\dfrac{1}{4}+\dfrac{2}{4^2}+\dfrac{3}{4^3}+\dfrac{4}{4^4}+...+\dfrac{2014}{4^{2014}}\). Chứng minh rằng \(S< \dfrac{1}{2}\)
4S=1+24+342+....+2014420134S=1+24+342+....+201442013
4S−S=3S=1+24+342+....+201442013−(14+242+343+....+201442014)4S−S=3S=1+24+342+....+201442013−(14+242+343+....+201442014)
3S=1+(24−14)+(342−242)+......+(201442013−201342013)−2014420143S=1+(24−14)+(342−242)+......+(201442013−201342013)−201442014
3S=1+14+142+143+.....+142013−2014420143S=1+14+142+143+.....+142013−201442014
đặt A=1+14+142+143+....+142023A=1+14+142+143+....+142023
4A−A=4+1+14+142+.....+142022−(1+14+142+....+142023)4A−A=4+1+14+142+.....+142022−(1+14+142+....+142023)
3A=4−1420233A=4−142023
A=43−13.42023A=43−13.42023
⇒3S=43−13.42023−201442024⇒3S=43−13.42023−201442024
⇒S=49−19.42023−20143.42024⇒S=49−19.42023−20143.42024
do 49<48=1249<48=12
⇒S=49−19.42023−20143.42024<48=12(đpcm)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho tổng gồm 2014 số hạng: \(S=\frac{1}{4}+\frac{2}{4^2}+\frac{3}{4^3}+\frac{4}{4^4}+...+\frac{2014}{4^{2014}}\)
Chứng minh rằng S<0,5.
=>4.S=1+2/4 +3/42+....+2014/42013
=>3.S=1+1/4+1/42+...+1/42013-2014/42014
=>12.S=4+1+1/4+......+1/42012-2014/42013
=>9.S=4-2014/42013-1/42013+2014/42014
=>9.S=4-(2015/42013-2014/42014) mà 2015/42013-2014/42014>0
=>9.S<4
=>S<4/9
=S<4/8
=>S<1/2
=>S<0,5
Vậy S<0,5 (ĐPCM)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho tổng gồm 2014 số hạng, \(S=\frac{1}{4}+\frac{2}{4^2}+\frac{3}{4^3}+\frac{4}{4^4}+...+\frac{2014}{4^{2014}}\). Chứng minh rằng \(S< \frac{1}{2}\).
Xét \(4S=1+\dfrac{2}{4}+\dfrac{3}{4^2}+\dfrac{4}{4^3}+...+\dfrac{2014}{4^{2013}}\)
=> \(3S=4S-S=\left(1+\dfrac{2}{4}+\dfrac{3}{4^2}+...+\dfrac{2014}{4^{2013}}\right)-\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{2}{4^2}+...+\dfrac{2014}{4^{2014}}\right)\)
=> \(3S=1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4^2}+...+\dfrac{1}{4^{2013}}-\dfrac{2014}{4^{2014}}< 1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4^2}+...+\dfrac{1}{4^{2013}}\)
Đặt \(A=1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4^2}+...+\dfrac{1}{4^{2013}}\)
=> \(4A=4+1+\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{4^{2012}}\)
=> \(3A=4A-A=\left(4+1+\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{4^{2012}}\right)-\left(1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4^2}+...+\dfrac{1}{4^{2013}}\right)\)
=> \(3A=4-\dfrac{1}{4^{2013}}< 4\)
=> \(A< \dfrac{4}{3}\)
=> \(3S< \dfrac{4}{3}\)
=> \(S< \dfrac{4}{9}< \dfrac{1}{2}\)
Đúng 2
Bình luận (0)
\(4S=1+\frac{2}{4}+\frac{3}{4^2}+....+\frac{2014}{4^{2013}}\)
\(4S-S=3S=1+\frac{2}{4}+\frac{3}{4^2}+....+\frac{2014}{4^{2013}}-\left(\frac{1}{4}+\frac{2}{4^2}+\frac{3}{4^3}+....+\frac{2014}{4^{2014}}\right)\)
\(3S=1+\left(\frac{2}{4}-\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{3}{4^2}-\frac{2}{4^2}\right)+......+\left(\frac{2014}{4^{2013}}-\frac{2013}{4^{2013}}\right)-\frac{2014}{4^{2014}}\)
\(3S=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^3}+.....+\frac{1}{4^{2013}}-\frac{2014}{4^{2014}}\)
đặt \(A=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^3}+....+\frac{1}{4^{2023}}\)
\(4A-A=4+1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+.....+\frac{1}{4^{2022}}-\left(1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+....+\frac{1}{4^{2023}}\right)\)
\(3A=4-\frac{1}{4^{2023}}\)
\(A=\frac{4}{3}-\frac{1}{3.4^{2023}}\)
\(\Rightarrow3S=\frac{4}{3}-\frac{1}{3.4^{2023}}-\frac{2014}{4^{2024}}\)
\(\Rightarrow S=\frac{4}{9}-\frac{1}{9.4^{2023}}-\frac{2014}{3.4^{2024}}\)
do \(\frac{4}{9}< \frac{4}{8}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow S=\frac{4}{9}-\frac{1}{9.4^{2023}}-\frac{2014}{3.4^{2024}}< \frac{4}{8}=\frac{1}{2}\left(đpcm\right)\)
cho tổng gồm 2014 số hạng
a)S=1/4+2/42+3/43+4/44+...+2014/42014 chứng minh rằng S<1/2
b)Tìm tất cả các số tự nhiên n biết n+S(n)=2014 trong đó S(n) là tổng các chữ số của n
cho S = 444...4(2014 chữ số 4) + 222...2 (1008 chữ số 2) + 888...8(1007 chữ số 8) + 7
chứng minh s là số chính phương
mn giúp tớ vs ạ tớ cần gấp
\(S=\frac{4\left(10^{2014}-1\right)}{9}+\frac{2\left(10^{1008}-1\right)}{9}+\frac{8\left(10^{1007}-1\right)}{9}+7\)
\(S=\frac{4.10^{2014}}{9}-\frac{4}{9}+\frac{2.10^{1008}}{9}-\frac{2}{9}+\frac{8.10^{1007}}{9}-\frac{8}{9}+7\)
\(S=\frac{4.10^{2014}}{9}+\frac{2.10.10^{1007}}{9}+\frac{8.10^{1007}}{9}+\frac{49}{3}\)
\(S=\left(\frac{2.10^{1007}}{3}\right)^2+2.\frac{2.10^{1007}}{3}.\frac{7}{3}+\left(\frac{7}{3}\right)^2\)
\(S=\left(\frac{2.10^{1007}}{3}+\frac{7}{3}\right)^2\) là số chính phương
1) Cho tổng gồm 2014 số hạng : S= 1/4 + 2/42 + 3/43 + 4/44 + ... + 2014/42014 . Chứng minh rằng : S < 1/2
2) Tìm tất cả cá số tự nhiên n , biết rằng : n + S( n ) = 2014 , trong đó S( n ) là tổng các chữ số của n
Cho tổng gồm 2014 số hạng : S = 1/4 + 2/42 + 3/43 + 4/44 + ...+ 2014/42014 . Chứng minh rằng : S < 1/2
Cho tổng gồm 2014 số hạng: S= 1/4 + 2/42 + 3/43 + 4/44 + ... + 2014/42014
Chứng mih rằng: S < 1
=> \(4.S=1+\frac{2}{4}+\frac{3}{4^2}+\frac{4}{4^3}+...+\frac{2014}{4^{2013}}\)
=> 4.S - S = \(\left(1+\frac{2}{4}+\frac{3}{4^2}+\frac{4}{4^3}+...+\frac{2014}{4^{2013}}\right)-\left(\frac{1}{4}+\frac{2}{4^2}+\frac{3}{4^3}+...+\frac{2014}{4^{2014}}\right)\)
=> 3.S = \(=1+\left(\frac{2}{4}-\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{3}{4^2}-\frac{2}{4^2}\right)+\left(\frac{4}{4^3}-\frac{3}{4^3}\right)+...+\left(\frac{2014}{4^{2013}}-\frac{2013}{4^{2013}}\right)-\frac{2014}{4^{2014}}\)
=> 3.S = \(1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{4^{2013}}-\frac{2014}{4^{2014}}\)
Tính A= \(1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{4^{2013}}\)
=> \(4.A=4+1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{4^{2012}}\)
=> 4.A - A = \(4-\frac{1}{4^{2013}}\)=> A= \(\frac{4}{3}-\frac{1}{3.4^{2013}}\)
=> 3.S = \(\frac{4}{3}-\frac{1}{3.4^{2013}}-\frac{2014}{4^{2014}}\) => S = \(\frac{4}{9}-\frac{1}{9.4^{2013}}-\frac{2014}{4^{2014}}
Đúng 0
Bình luận (0)
Nếu là 1/2 thì ta so sánh 4/9 < 4/8 = 1/2 => S < 1/2
Đúng 0
Bình luận (0)
Sao an loan luc lam S luc lam A vay? Do hoi chang?
Đúng 0
Bình luận (0)
Xem thêm câu trả lời
Có bao nhiêu số hạng trong tổng S = 10+12+14+16+...+2014
