\(\)
Cho a,b,c dương thỏa
\(\frac{a.b}{a+b}\)=\(\frac{b.c}{b+c}\)=\(\frac{a.c}{a+c}\)
Tính giá trị A=\(\frac{a^3+b^3+c^3}{a^2.b+b^2.c+c^2.a}\)
Cho a,b, c khác 0 , thỏa mãn : \(\frac{a.b}{a+b}=\frac{b.c}{b+c}=\frac{a.c}{a+c}\)
Tính \(P=\frac{ab^2+bc^2+ca^2}{a^3+b^3+c^3}\)
\(\frac{ab}{a+b}=\frac{bc}{b+c}=\frac{ca}{c+a}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}=\frac{b+c}{bc}=\frac{c+a}{ca}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\\\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{a}=\frac{1}{c}\\\frac{1}{b}=\frac{1}{a}\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow a=b=c\)
Vậy P =1
Cho a,b,c>0 thỏa mãn a.b.c=1
CMR:\(\frac{1}{a.b+a+2}+\frac{1}{b.c+b+2}+\frac{1}{a.c+c+2}\le\frac{3}{4}\)
Bài 1: Cho
\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}\)
Chứng minh: \(\left(\frac{a+b+c}{b+c+d}\right)^3=\frac{a}{d}\)
Bài 2: Cho
\(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}\)
Tính giá trị của \(\frac{a}{b+c};\frac{b}{c+a};\frac{c}{a+b}\)
Bài 3: Tìm x,y biết:
\(\frac{1+2y}{18}=\frac{1+4y}{24}=\frac{1+6y}{6x}\)
Bài 4: Tìm a,b,c:
a, \(a.b=\frac{3}{5};b.c=\frac{4}{5};c.a=\frac{3}{4}\)
b, a.(a+b+c)= -12
b.(a+b+c)= 18
c.(a+b+c)= 30
c, a.b=c; b.c= 4a; a.c= 9b
bạn dùng TC dãy tỉ số bằng nhau đi
cộng vào là ra kết quả ngay mà
Cho b2-a.c,c2=a.b với a,b,c khác 0 và a+b+c khác 0
Tính A=\(\frac{a^3-ab^2+b^3}{c^3+b^3+b.c}\)
Cho a;b;c \(\ne\)0 thỏa mãn\(\frac{ab}{a+b}=\frac{bc}{b+c}=\frac{ca}{c+a}\)
Tính B=\(\frac{a.b^2+b.c^2+c.a^2}{a^3+b^3+c^3}\)
Từ \(\frac{ab}{a+b}=\frac{bc}{b+c}=\frac{ca}{c+a}\) => \(\frac{a+b}{ab}=\frac{b+c}{bc}=\frac{c+a}{ca}\) => \(\frac{a}{ab}+\frac{b}{ab}=\frac{b}{bc}+\frac{c}{bc}=\frac{c}{ca}+\frac{a}{ca}\)
=> \(\frac{1}{b}+\frac{1}{a}=\frac{1}{c}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\) => \(\frac{1}{a}=\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\) => a = b = c
Vậy B = \(\frac{a.a^2+b.b^2+c.c^2}{a^3+b^3+c^3}=\frac{a^3+b^3+c^3}{a^3+b^3+c^3}=1\)
Cho các số a,b,c\(\ne\)0 thoả mãn: \(\frac{a.b}{a+b}\)=\(\frac{b.c}{b+c}\)= \(\frac{c.a}{c+a}\)
Tính Q=\(\frac{a.b^2+b.c^2+c.a^2}{a^3+b^3+c^3}\)
Ta có :
\(\frac{ab}{a+b}=\frac{bc}{b+c}=\frac{ca}{c+a}=\frac{ab-bc}{\left(a+b\right)-\left(b+c\right)}=\frac{bc-ca}{\left(b+c\right)-\left(c+a\right)}=\frac{ab-ca}{\left(a+b\right)-\left(c+a\right)}\)
\(\Rightarrow a=b=c\)
\(\Rightarrow Q=\frac{ab^2+bc^2+ca^2}{a^3+b^3+c^3}=1\)
Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c = 1/2 và a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca =1/6. tính giá trị BT : P = \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\)
Cho a,b,c thỏa mãn \(\frac{a^3}{a^{^2}+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ac+a^2}=1006\).Tính giá trị của biểu thức \(M=\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3+a^3}{c^2+ca+a^2}\)
Cho \(S=1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\). CMR \(4S+1\)là số chính phương
Tìm các số a, b,c biết a, b, c là các số khác 0 thoả mãn :
\(\frac{a.b+a.c}{2}=\frac{b.c+b.a}{3}=\frac{c.a+c.b}{4}\) và a + b + c = 69
\(\frac{ab+ac}{2}=\frac{bc+ab}{3}=\frac{ca+bc}{4}\)
( ta lần lược lấy - (1) + (2) + (3) = (1) - (2) + (3) = (1) + (2) - (3) được)
\(=\frac{2bc}{5}=\frac{2ca}{3}=\frac{2ab}{1}\)
Ta thấy rằng a,b,c không thể = 0 vì như vậy thì a + b + c \(\ne69\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{c}{5}\\b=\frac{c}{3}\end{cases}}\)
Thế vào: a + b + c = 69
\(\Leftrightarrow\frac{c}{5}+\frac{c}{3}+c=69\)
\(\Rightarrow c=45\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=9\\b=15\end{cases}}\)
Biết là dùng dãy tỷ số rồi
Không đơn giản nhìn ra được cách xắp xép (+) (-) như @ ALI đâu. Hay!
Còn cách ghép nào hay hơn nữa không nhỉ%
Cho 3 số dương a, b,c thỏa mãn: a+b+c\(\le\)3. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
\(A=\frac{a^2+6a+3}{a^2+a}+\frac{b^2+6b+3}{b^2+b}+\frac{c^2+6c+3}{c^2+c}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho 2 số không âm, ta có:
\(\frac{a^2+6a+3}{a^2+a}=\frac{\left(3a^2+3\right)+6a-2a^2}{a^2+a}\ge\frac{6a+6a-2a^2}{a^2+a}\)
\(=\frac{12a-2a^2}{a^2+a}=\frac{14}{a+1}-2\)
Tương tự ta có: \(\frac{b^2+6b+3}{b^2+b}\ge\frac{14}{b+1}-2\);\(\frac{c^2+6c+3}{c^2+c}\ge\frac{14}{c+1}-2\)
Cộng từng vế của 3 bất đẳng thức trên và sử dụng BĐT Bunhiacopxki dạng phân thức, ta được:
\(A\ge14\left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\right)-6\ge14.\frac{9}{a+b+c+3}-6\)
\(\ge14.\frac{9}{3+3}-6=15\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Cách 2, dùng UCT xét BĐT phụ
Xét BĐT phụ: \(\frac{x^2+6x+3}{x^2+x}\ge\frac{-7}{2}x+\frac{17}{2}\)(*)
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\frac{\left(7x+6\right)\left(x-1\right)^2}{2\left(x^2+x\right)}\ge0\)(Đúng với mọi x dương)
Áp dụng, ta được: \(A=\frac{a^2+6a+3}{a^2+a}+\frac{b^2+6b+3}{b^2+b}+\frac{c^2+6c+3}{c^2+c}\)\(\ge\frac{-7}{2}\left(a+b+c\right)+\frac{17}{2}.3=\ge\frac{-7}{2}.3+\frac{51}{2}=15\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1