\(5n^3+15n^2+10n\)

\(=x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\)

Ta có : \(x;x+1;x+2\)là 3 số tự nhiên liên tiếp 

=> \(x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\)chia hết cho 2 ; 3 ; 6 => \(x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\)chia hết cho 30 ( đpcm )

\(A=5n^3+15n^2+10n\)

\(=5n^3+5n^2+10n^2+10n\)

\(=5n^2\left(n+1\right)+10n\left(n+1\right)\)

\(=\left(n+1\right)\left(5n^2+10n\right)\)

\(=5n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

do \(n;n+1;n+2\)là 3 số nguyên liên tiếp

\(\Rightarrow n;n+1;n+2\)chia hết cho 6

\(\Rightarrow A\)chia hết cho 5 và 6

mà 5 và 6 là 2 số nguyên tố cùng nhau

\(\Rightarrow A\)chia hết cho 30 (dpcm)

Chúc pn hk tốt ^-^

\(5n^3+15n^2+10n\)

\(=x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\)

\(\Rightarrow x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\)chia hết cho 30

mình cần câu hỏi này

\(n^4-10n^2+9\)

\(=\)\(\left(n^4-n^2\right)-\left(9n^2-9\right)\)

\(=\)\(n^2\left(n^2-1\right)-9\left(n^2-1\right)\)

\(=\)\(\left(n^2-1\right)\left(n^2-9\right)\)

\(=\)\(\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-3\right)\left(n+3\right)\)

Mà n lẻ nên n có dạng \(2k+1\) \(\left(k\inℤ\right)\)

\(=\)\(\left(2k+1-1\right)\left(2k+1+1\right)\left(2k+1-3\right)\left(2k+1+3\right)\)

\(=\)\(2k\left(2k+2\right)\left(2k-2\right)\left(2k+4\right)\)

\(=\)\(16k\left(k+1\right)\left(k-1\right)\left(k+2\right)\)

\(=\)\(15k\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)

Lại có : 

\(16k\left(k+1\right)\left(k-2\right)\left(k+2\right)⋮16\)

\(15\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\left(k+2\right)⋮8,⋮3\)

\(\Rightarrow\)\(15\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\left(k+2\right)⋮384\) ( đpcm ) 

Vậy \(n^4-10n^2+9⋮384\) với mọi n là số nguyên lẻ 

Chúc bạn học tốt ~ 

giải câu c nha

xét hiệu:A= \(a^3+b^3+c^3-a-b-c=\left(a^3-a\right)+\left(b^3-b\right)+\left(c^3-c\right)\)

Ta có:a³-a=a(a²-1)=a(a-1)(a+1) chia hết cho 6

tương tự :b³-b chia hết cho 6 và c³-c chia hết cho 6

\(\Rightarrow\)A chia hết cho 6

=> a³+b³+c³ -a-b-c chia hết cho 6

mà a³+b³+c³chia hết cho 6 nên a+b+c chia hết cho 6

k cho tớ xog tớ giải hai câu còn lại cho nha

a/ n³ - n = n(n+1)(n-1) đây là ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6

Sao cậu k k cho tớ

Đặt P = n⁵ - 5n³ + 4n 

= n⁵ - n³ - 4n³ + 4n 

= n³(n² - 1) - 4n(n² - 1) 

= n³(n - 1)(n + 1) - 4n(n - 1)(n + 1) 

= (n - 1)n(n + 1)(n² - 4) 

= (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) (tích 5 số nguyên liên tiếp) 

=> P \(⋮3;5;8\)

mà (3;5;8) = 1

=> P \(⋮3.5.8=120\)

Ta có: n^5 - n = n (n^4 -1 ) 
=n (n^2-1)(n^2+1) 
=n(n-1)(n+1)(n^2 - 4 +5) 
=n(n-1)(n+1)(n^2-4) + n(n-1)(n+1)5 
= (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+ n(n-1)(n+1)5 
Vì (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) chia hết cho 30 
và n(n-1)(n+1)5 chia hết cho 30 
Nên (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+ n(n-1)(n+1)5 chia hết cho 30 
hay n^5-n chia hết cho 30

\(Ta\)\(có\): \(5n^3+15n+10n=5n\left(n^2+3n+2\right)\)

                 \(=5n\left[\left(n^2+n\right)+\left(2n+2\right)\right]=5n\left[n\left(n+1\right)+2\left(n+1\right)\right]\)

                 \(=5n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

\(Vì\)\(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮6\)\(và\) \(5⋮5\)

\(nên\) \(5n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮\left(5.6\right)\Rightarrow5n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮30\left(đpcm\right)\)

bạn giúp mk bài 2 nx

Bài 1:

 \(5n^3+15n^2+10n=5n\left(n^2+3n+2\right)=5n\left[\left(n^2+n\right)+\left(2n+2\right)\right]\)

\(=5n\left[n\left(n+1\right)+2\left(n+1\right)\right]=5n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

Vì \(n\), \(n+1\)là 2 số nguyên liên tiếp 

\(\Rightarrow n\left(n+1\right)⋮2\)\(\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮2\)(1)

Vì \(n\), \(n+1\), \(n+2\)là 3 số nguyên liên tiếp

\(\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮3\)(2)

Vì \(\left(2;3\right)=1\)(3)

Từ (1), (2) và (3) \(\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮6\)

\(\Rightarrow5n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮30\)

\(\Rightarrow5n^3+15n^2+10n⋮30\)( đpcm )

Bài 2:

Gọi 4 số nguyên dương liên tiếp là \(a\), \(a+1\), \(a+2\), \(a+3\)( \(a\inℕ^∗\))

Theo bài, ta có: \(a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\left(a+3\right)=120\)

\(\Leftrightarrow a\left(a+3\right)\left(a+1\right)\left(a+2\right)=120\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+3a\right)\left(a^2+3a+2\right)=120\)

Đặt \(a^2+3a+1=t\)

\(\Rightarrow\left(t-1\right)\left(t+1\right)=120\)\(\Leftrightarrow t^2-1-120=0\)

\(\Leftrightarrow t^2-121=0\)\(\Leftrightarrow\left(t-11\right)\left(t+11\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t-11=0\\t+11=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t=11\\t=-11\end{cases}}\)

+) TH1: Nếu \(t=-11\)\(\Rightarrow a^2+3a+1=-11\)

\(\Leftrightarrow a^2+3a+12=0\)( không có nghiệm nguyên )

+) TH2: Nếu \(t=11\)\(\Rightarrow a^2+3a+1=11\)

\(\Leftrightarrow a^2+3a-10=0\)\(\Leftrightarrow\left(a-2\right)\left(a+5\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a-2=0\\a+5=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=2\\a=-5\end{cases}}\)

Vì \(a\inℕ^∗\)\(\Rightarrow a=2\)thỏa mãn đề bài 

Vậy 4 số nguyên dương cần tìm là 2, 3, 4, 5

a, Khai trển phương trình : 

(5n+2)^2 - 4 = (25n^2 + 2*2*5n + 2^2) - 4 = 25n^2 + 20n + 4 - 4 
= 25n^2 + 20n = 5n(5n + 4) 

--> (52+2)^2 - 4 = 5n(5n + 4) hiển nhiên chia hết cho 5. 

lưu ý : (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2