Đặt \(x^2=t\ge0\) pt trở thành: \(t^2-2\left(m-3\right)t-2m-24=0\) (1)

Để pt đã cho có 4 nghiệm pb thì (1) có 2 nghiệm dương pb

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=m^2-4m+33>0\\t_1+t_2=2\left(m-3\right)>0\\t_1t_2=-2m-24>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>3\\m< -12\end{matrix}\right.\)

Không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu đề bài

Đặt :

\(x^2=t\) => t >0

Phương trình tương đương :

\(t^2+2mt+4=0\) (*)

Để phương trình trên co 4 nghiệm phân biệt thì (*) phải có 2 nghiệm dương

=>| Điều kiện :

\(\Delta'=m-4>0\)

\(\Rightarrow m>4\)

Theo hệ thức Vi-ét :

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2+x_3+x_4=-\dfrac{b}{a}=0\\x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4=\dfrac{c}{a}=m\\x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4=-\dfrac{d}{a}=0\\x_1x_2x_3x_4=\dfrac{e}{a}=4\end{matrix}\right.\)

Mũ 4 phương trình đầu tiên lên rồi áp vào

\(x_1^4+x_2^4+x_3^4+x^4_4=32\) , sử dụng các phương trình bên dưới nữa để giải ra m là được

Có: \(x_2^2=x_1.x_3\Leftrightarrow\frac{x_2}{x_3}=\frac{x_1}{x_2}\left(1\right)\)

\(x_3^2=x_2.x_4\Rightarrow\frac{x_3}{x_4}=\frac{x_2}{x_3}\left(2\right)\)

\(x_4^2=x_3.x_5\Rightarrow\frac{x_4}{x_5}=\frac{x_3}{x_4}\left(3\right)\)

\(x_5^2=x_4.x_6\Rightarrow\frac{x_5}{x_6}=\frac{x_4}{x_5}\left(4\right)\)

Từ (1); (2); (3) và (4) \(\Rightarrow\frac{x_1}{x_2}=\frac{x_2}{x_3}=\frac{x_3}{x_4}=\frac{x_4}{x_5}=\frac{x_5}{x_6}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số = nhau ta có:

\(\frac{x_1}{x_2}=\frac{x_2}{x_3}=\frac{x_3}{x_4}=\frac{x_4}{x_5}=\frac{x_5}{x_6}=\frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5}{x_2+x_3+x_4+x_5+x_6}\)

\(\Rightarrow\frac{x_1^5}{x_2^5}=\frac{x_1}{x_2}.\frac{x_2}{x_3}.\frac{x_3}{x_4}.\frac{x_4}{x_5}.\frac{x_5}{x_6}=\left(\frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5}{x_2+x_3+x_4+x_5+x_6}\right)^5=\frac{x_1}{x_6}\left(đpcm\right)\)

dễ thế mà không biết làm , làm xong lâu rồi

Ta có

\(x^4+y^4=7z^4+5\Leftrightarrow x^4+y^4+z^4=8z^4+5\)

Áp dụng tính chất lũy thừa bậc 4 của số nguyên a khi chia cho 8 dư 0 hoặc 1

tức là \(a^4\equiv0,1\left(mod8\right)\)

\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4\equiv0,1,2,3\left(mod8\right)\)

Mà \(8z^4+5\equiv5\left(mod8\right)\)

vậy pt k có nghiệm nguyên

ĐK: \(0\le x\le4\)

\(\dfrac{x!\left(4-x\right)!}{4!}-\dfrac{x!\left(5-x\right)!}{5!}=\dfrac{x!\left(6-x\right)!}{6!}\)

\(\Leftrightarrow1-\dfrac{5-x}{5}=\dfrac{\left(5-x\right)\left(6-x\right)}{30}\)

\(\Leftrightarrow x^2-17x+30=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=15\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)