Chứng minh: với a,b > 0 thì
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)
Mình hứa nếu ai giúp mình mình sẽ đăng câu hỏi linh tinh để bấm ''Đúng" cho người đó 10 lần!
Cho a,b,c > 0. Chứng minh: \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\) (Nesbit)
Mọi người cho mình hỏi với bạn @huyenthoaikkkk thực lực ngang CTV à, thấy bạn ý vào dọa mình thế chứ mình cũng có biết gì đâu:(((
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)
<=> \(\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a}+\frac{a+b+c}{a+b}\ge\frac{9}{2}\)
<=> \(2\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)\ge9\)
<=> \(\left(a+b+b+c+c+a\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)\ge9\)
<=> \(\frac{a+b}{b+c}+\frac{a+b}{c+a}+1+1+\frac{b+c}{c+a}+\frac{b+c}{a+b}+\frac{c+a}{b+c}+1+\frac{c+a}{a+b}\ge9\)
<=> \(\left(\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}\right)+\left(\frac{a+b}{c+a}+\frac{c+a}{a+b}\right)+\left(\frac{b+c}{c+a}+\frac{c+a}{b+c}\right)\ge6\)(đúng)
=> ĐPCM
Mình làm cách đơn giản nhất nhá :))
Ta có:
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+3=\left(\frac{a}{b+c}+1\right)+\left(\frac{b}{c+a}+1\right)+\left(\frac{c}{a+b}+1\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)\ge\frac{9\left(a+b+c\right)}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{9}{2}\left(Cauchy-Schwarz\right)\)
Hay \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+3\ge\frac{9}{2}\Leftrightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)
C1 : Bất đẳng thức ban đầu tương đương với :
\(2a\left(a+b\right)\left(a+c\right)+2b\left(b+c\right)\left(b+a\right)+2c\left(c+a\right)\left(c+b\right)\ge3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
\(< =>2\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)\)
\(< =>\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2+\left(b+c\right)\left(b-c\right)^2+\left(c+a\right)\left(c-a\right)^2\ge0\)(ĐPCM)
Cho: \(\frac{1}{h}=\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
Chứng minh: \(\frac{a}{b}=\frac{a-h}{h-b}\)
(Các bạn làm ơn giúp mình với nhé, mình đang cần gấp lắm. Ai trả lời đúng, chi tiết và nhanh nhất, mình sẽ tick cho bạn đó. Cảm ơn các bạn nhiều lắm)
1/h=1/2(1/a+1/b)=1/2a+1/2b=(a+b)/2ab
=>(a+b/)2ab-1/h=0
quy dong len ta co
(a+b)h/2abh-2ab/2abh=0=> (ah+bh-2ab)/2abh=0 =>ah+bh-2ab=0
=>ah+bh-ab-ab=0
=>a(h-b)-b(a-h)=0
=>a(h-b)=b(a-h)
=>a/b=(a-h)(h-b)
Cho a, b, c > 0. CM:
a)\(\frac{a}{2a+b+c}+\frac{b}{a+2b+c}+\frac{c}{a+b+2c}\le\frac{3}{4}\)
b)\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{b+c}{a^2+bc}+\frac{c+a}{b^2+ac}+\frac{a+b}{c^2+ab}\)
c)\(\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{c^2+a^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}\ge\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\)
Làm được câu nào thì làm giúp mình câu đó nhé!
Lần sau đăng ít một thôi toàn bài dài :v, ko phải ko làm mà là ngại làm
a)Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\frac{a}{2a+b+c}=\frac{a}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}\right)\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:
\(\frac{b}{a+2b+c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{b}{a+b}+\frac{b}{b+c}\right);\frac{c}{a+b+2c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{c}{a+c}+\frac{c}{b+c}\right)\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(VT\le\frac{1}{4}\left(\frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{c+a}{c+a}\right)=\frac{3}{4}\)
Xảy ra khi \(a=b=c\)
b)Đặt \(THANG=abc\left(a^2+bc\right)\left(b^2+ac\right)\left(c^2+ab\right)>0\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{b+c}{a^2+bc}-\frac{c+a}{b^2+ac}-\frac{a+b}{a^2+ab}\)
\(=\frac{a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4-a^4b^2c^2-b^4c^2a^2-c^4a^2b^2}{THANG}\)
\(=\frac{\left(a^2b^2-b^2c^2\right)^2+\left(b^2c^2-c^2a^2\right)+\left(c^2a^2-a^2b^2\right)^2}{2THANG}\ge0\) (Đúng)
Xảy ra khi \(a=b=c\)
c)Ta có:\(\frac{a^2}{b^2+c^2}-\frac{a}{b+c}=\frac{ab\left(a-b\right)+ac\left(a-c\right)}{\left(b+c\right)\left(b^2+c^2\right)}\)
Và \(\frac{b^2}{c^2+a^2}-\frac{b}{c+a}=\frac{bc\left(b-c\right)+ab\left(b-a\right)}{\left(c+a\right)\left(c^2+a^2\right)}\)
\(\frac{c^2}{a^2+b^2}-\frac{c}{a+b}=\frac{ac\left(c-a\right)+bc\left(c-b\right)}{\left(b+a\right)\left(b^2+a^2\right)}\)
Cộng theo vế 3 đăng thức trên ta có:
\(VT-VP=Σ\left[\frac{ab\left(a-b\right)}{\left(b+c\right)\left(b^2+c^2\right)}-\frac{ab\left(a-b\right)}{\left(a+c\right)\left(a^2+c^2\right)}\right]\)
\(=\left(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\right)\cdotΣ\frac{ab\left(a-b\right)^2}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(b^2+c^2\right)\left(c^2+a^2\right)}\ge0\)
2 bài cuối full quy đồng mệt thật :v
Chứng minh rằng nếu 3 số a; b; c thỏa mãn a+b+c=2016 và\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2016}\) thì trong3 số đó phải có 1 số bằng 2016
GIÚP MÌNH VỚI! PLEASE!
Mai mình nộp rồi! giúp mình với!mình tìm ở tất cả các trang mà không thấy! i need help!
Bài 1:
Với a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng: \(\frac{1}{a\sqrt{3a+2b}}+\frac{1}{b\sqrt{3b+2c}}+\frac{1}{c\sqrt{3c+2a}}\ge\frac{3}{\sqrt{5abc}}\)
Bài 2:
Với x, y là các số thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất của \(G=\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+\left(x+y\right)^3}}\)
Bài 3:
Với a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng: \(\sqrt{\frac{a+b}{c}}+\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{c+a}{b}}\ge2\left(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\right)\)
Bài 4:
Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc = 1, chứng minh rằng: \(\frac{a}{\sqrt{b^2+3}}+\frac{b}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{c}{\sqrt{a^2+3}}\ge\frac{3}{2}\)
Ai nhanh và đúng, mình sẽ đánh dấu và thêm bạn bè nhé. Thanks. Làm ơn giúp mình !!! PLEASE!!!
Bài 1: diendantoanhoc.net
Đặt \(a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}\) BĐT cần chứng minh trở thành
\(\frac{x}{\sqrt{3zx+2yz}}+\frac{x}{\sqrt{3xy+2xz}}+\frac{x}{\sqrt{3yz+2xy}}\ge\frac{3}{\sqrt{5}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{\sqrt{5z}\cdot\sqrt{3x+2y}}+\frac{y}{\sqrt{5x}\cdot\sqrt{3y+2z}}+\frac{z}{\sqrt{5y}\cdot\sqrt{3z+2x}}\ge\frac{3}{5}\)
Theo BĐT AM-GM và Cauchy-Schwarz ta có:
\( {\displaystyle \displaystyle \sum }\)\(_{cyc}\frac{x}{\sqrt{5z}\cdot\sqrt{3x+2y}}\ge2\)\( {\displaystyle \displaystyle \sum }\)\(\frac{x}{3x+2y+5z}\ge\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{x\left(3x+2y+5z\right)+y\left(5x+3y+2z\right)+z\left(2x+5y+3z\right)}\)
\(=\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)+7\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(=\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)+\frac{1}{3}\left(xy+yz+zx\right)+\frac{20}{3}\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(\ge\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)+\frac{1}{3}\left(x^2+y^2+z^2\right)+\frac{20}{3}\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(=\frac{2\left(x^2+y^2+z^2\right)}{5\left[x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\right]}=\frac{3}{5}\)
Bổ sung bài 1:
BĐT được chứng minh
Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c
Cho \(\frac{a}{c}=\frac{c}{b}\)chứng minh rằng \(\frac{b^2-a^2}{a^2+c^2}=\frac{b-a}{a}\)
Giúp mình với đang cần gấp lắm!
Ai nhanh nhất mình cho 1 tick đúng nhé!
Với a , b , c là các số thực dương . Chứng minh rằng :
\(\frac{a^5}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^5}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^5}{c^2+ac+a^2}\) > \(\frac{a^3+b^3+c^3}{3}\)
Mình xin các bạn đó . Các bạn có thể tôn trọng mình 1 chút được không ? Nếu các bạn không giải bài của mình thì đừng trả lời linh tinh
Ta có :
\(\frac{a^6}{a^3+a^2b+ab^2}+\frac{b^6}{b^3+b^2c+bc^2}+\frac{c^6}{c^3+ac^2+a^2c}\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{a^3+a^2b+ab^2+b^3+b^2c+bc^2+c^3+ca^2+c^2a}\)
( BĐT ..... )
TA đi cm : \(a^3+ab^2+a^2b+b^3+b^2c+bc^2+c^3+ac^2+a^2c\) \(\le3\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
(*) CM : \(a^2b+ab^2=ab\left(a+b\right)\le a^3+b^3\) ( cái này tự cm )
Tương tự bc^2 ; b^2c ; ca^2 ; c^2a ...
=>\(a^3+ab\left(a+b\right)+b^3+bc\left(b+c\right)+c^3+ac\left(a+c\right)\le a^3+a^3+b^3+b^3+b^3+c^3+c^3+a^3+c^3\)
= 3 (a^3 + b^3 + c^3 )
BĐT được cm .
Dấu = xảy ra khi a = b= c
Xét đa thức P(x)=ax2+bx+c ( a khác 0). Chứng minh rằng:
a, Nếu a+b+c=0 thì P(x) có 2 nghiệm là 1 và \(\frac{c}{a}\)
b, Nếu a-b+c=0 thì P(x) có 2 nghiệm là -1 và \(\frac{-c}{a}\)
Ai làm đúng và nhanh nhất mình sẽ tick!!!!!!!!!!!!!
Chứng minh nếu a,b,c khác 0 và \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2\) và \(a+b+c=abc\)thì \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=2\)
gải đúng mình tick lun nha
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=2^2\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^2+2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\frac{1}{c}+\left(\frac{1}{c}\right)^2=4\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{a}\right)^2+2\frac{1}{a}.\frac{1}{b}+\left(\frac{1}{b}\right)^2+2\left(\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}\right)+\left(\frac{1}{c}\right)^2=4\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{a}\right)^2+\left(\frac{1}{b}\right)^2+\left(\frac{1}{c}\right)^2+2\frac{1}{ab}+2\left(\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}\right)=4\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}\right)=4\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\left(\frac{a}{abc}+\frac{b}{abc}+\frac{c}{abc}\right)=4\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\left(\frac{a+b+c}{abc}\right)=4\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\left(\frac{a+b+c}{a+b+c}\right)=4\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2=4\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=4-2\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=2\)