Bạn áp dụng \(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n\left(n+1\right)}\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n\left(n+1\right)}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)với n = 1, 2 , 3 , ... , 1999

\(2\frac{1998}{1999}\)là hỗn số hay \(2.\frac{1998}{1999}\)hả bạn?

Là \(2.\frac{1998}{1999}\)

ok bạn đợi mình tí nhé :>

\(\sqrt{1.1998}< \frac{1+1998}{2}\)

\(S>\frac{2}{1999}+\frac{2}{1999}+...+\frac{2}{1999}=2.\frac{1998}{1999}\)

Áp dụng \(\frac{1}{\sqrt{a.b}}>\frac{2}{a+b}\) , ta có : 

\(S=\frac{1}{\sqrt{1.1998}}+\frac{1}{\sqrt{2.1997}}+...+\frac{1}{\sqrt{k\left(1998-k+1\right)}}+...+\frac{1}{\sqrt{1998.1}}>\)

\(>\frac{2}{1+1998}+\frac{2}{2+1997}+...+\frac{2}{k+1998-k+1}+...+\frac{2}{1998+1}=\)

\(=\frac{2.1998}{1999}\)

Vậy \(S>\frac{2.1998}{1999}\)

Sửa đề : \(S=\frac{1}{\sqrt{1.1998}}+\frac{1}{\sqrt{2.1997}}+...+\frac{1}{\sqrt{k\left(1998-k+1\right)}}+...+\frac{1}{\sqrt{1998.1}}\)

Tổng S có số số hạng là :(1998-1):1+1=1998(số)

Áp dụng bđt cosi vs hai số dương có

\(\sqrt{1.1998}\le\frac{1+1998}{2}=\frac{1999}{2}\)

\(\frac{1}{\sqrt{1.1998}}\ge\frac{2}{1999}\)

Tương tự cx có \(\frac{1}{\sqrt{2.1997}}\ge\frac{2}{1999}\)

..............

\(\frac{1}{\sqrt{k\left(1998-k+1\right)}}\ge\frac{2}{1999}\)

................

\(\frac{1}{\sqrt{1998.1}}\ge\frac{2}{1999}\)

=> \(S\ge\frac{2}{1999}+\frac{2}{1999}+...+\frac{2}{1998}\)

<=> \(S\ge2.\frac{1998}{1999}\)