x² - 2xy + 2y² + 2x - 6y + 4 = 0

<=> [ ( x² - 2xy + y² ) + 2( x - y ) + 1 ] + ( y² - 4y + 4 ) - 1 = 0

<=> [ ( x - y )² + 2( x - y ) + 1 ] + ( y - 2 )² - 1 = 0

<=> ( x - y + 1 )² + ( y - 2 )² - 1 = 0

<=> ( x - y + 1 )² + ( y - 2 )² = 1

Nhận thấy rằng VT là tổng của hai bình phương 

=> VP cũng phải là tổng của hai bình phương

Ta có : 1 = 1² + 0²

               = (-1)² + 0²

Ta xét 4 trường hợp sau :

1.\(\hept{\begin{cases}\left(x-y+1\right)^2=1^2\\\left(y-2\right)^2=0^2\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=0\\y=2\end{cases}}\)

2. \(\hept{\begin{cases}\left(x-y+1\right)^2=\left(-1\right)^2\\\left(y-2\right)^2=0^2\end{cases}}\Rightarrow x=y=2\)

3. \(\hept{\begin{cases}\left(x-y+1\right)^2=0^2\\\left(y-2\right)^2=1^2\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}x=2\\y=3\end{cases}}\)

4. \(\hept{\begin{cases}\left(x-y+1\right)^2=0^2\\\left(y-2\right)^2=\left(-1\right)^2\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=0\\y=1\end{cases}}\)

Vậy ( x ; y ) = { ( 0 ; 2 ) , ( 2 ; 2 ) , ( 2 ; 3 ) , ( 0 ; 1 ) }

\(x^2-2xy+y^2+2x-6y+4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2-2y+2x+1\right)+\left(y^2-4y+4\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y+1\right)^2+\left(y-2\right)^2=1\)

Mà \(x;y\in Z\); \(\left(x-y+1\right)^2\ge0;\left(y-2\right)^2\ge0\)

pt <=> \(\orbr{\begin{cases}\left(x-y+1\right)^2=0\\\left(y-2\right)^2=1\end{cases}}\) hoặc \(\orbr{\begin{cases}\left(x-y+1\right)^2=1\\\left(y-2\right)^2=0\end{cases}}\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}x-y=-1\\y=3\end{cases}}\) hoặc \(\orbr{\begin{cases}x-y=0\\y=2\end{cases}}\)

<=> x = 2 ; y = 3 hoặc x = y = 2 ( tm x ; y thuộc Z )

Vậy các cặp số x ; y thỏa mãn pt trên là : ( 2 ; 3 ) ; ( 2 ; 2 ) 

Thiếu v:

pt <=> \(\orbr{\begin{cases}\left(x-y+1\right)^2=0\\\left(y-2\right)^2=1\end{cases}}\) hoặc \(\orbr{\begin{cases}\left(x-y+1\right)^2=1\\\left(y-2\right)^2=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-y=-1\\y=3;y=1\end{cases}}\)hoặc \(\orbr{\begin{cases}x-y=0;x-y=-2\\y=2\end{cases}}\)

<=> x = 2 ; y = 3 hoặc x = 0 ; y = 1 hoặc x = y = 2 hoặc x = 0 ; y = 2

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2z+1\right)< 1\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-1\right)^2< 1\)

Nếu tồn tại 1 trong 3 số \(x-y;y-z;z-1\) khác 0

Do x; y; z nguyên

\(\Rightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge1\) (vô lý)

\(\Rightarrow x-y=y-z=z-1=0\)

\(\Leftrightarrow x=y=z=1\)

Q = x 2 + 2 y 2 + 2 x y − 2 x − 6 y + 2015        = x 2 + 2 x y + y 2 − 2 x − 2 y + 1 + y 2 − 4 y + 4 + 2010        = x 2 + 2 x y + y 2 − 2 x + 2 y + 1 + y 2 − 4 y + 4 + 2010        = x + y 2 − 2 x + y + 1 + y 2 − 4 y + 4 + 2010        = x + y − 1 2 + y − 2 2 + 2010

x² - 2xy + 2y² - 2x + 6y + 13 = 0 

<=> x² - 2x(y + 1) + 2y² + 6y + 13 = 0 

<=> x² - 2x(y + 1) + (y + 1)² + y² + 4y + 12 = 0 

<=> (x - y - 1)² + (y + 1)² + (y + 2)² + 8 = 0 

Vô lí do VT > 0 vs mọi x; y 

=> Ko tìm đc gtri của N

khongg lam maa ddoi co an thi an cai lon me may

\(a,4x^2+9y^2+4x-24y+17=0\)

\(\Rightarrow\left(4x^2+4x+1\right)+\left(9y^2-24y+16\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(2x+1\right)^2+\left(3y-4\right)^2=0\)

\(\left(2x+1\right)^2\ge0;\left(3y-4\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(2x+1\right)^2=0\\\left(3y-4\right)^2=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2x+1=0\\3y-4=0\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}x=-\frac{1}{2}\\y=\frac{4}{3}\end{cases}}}\)

a.

\(\Leftrightarrow2x^2-4x+4y^2=4xy+4\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-4xy+4y^2\right)+\left(x^2-4x+4\right)=8\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2y\right)^2+\left(x-2\right)^2=8\) (1)

Do \(\left(x-2y\right)^2\ge0;\forall x;y\)

\(\Rightarrow\left(x-2\right)^2\le8\)

\(\Rightarrow\left(x-2\right)^2=\left\{0;1;4\right\}\)

TH1: \(\left(x-2\right)^2\Rightarrow x=2\) thế vào (1)

\(\Rightarrow\left(2-2y\right)^2=8\Rightarrow\left(1-y\right)^2=2\) (ko tồn tại y nguyên t/m do 2 ko phải SCP)

TH2: \(\left(x-2\right)^2=1\Rightarrow\left(x-2y\right)^2=8-1=7\), mà 7 ko phải SCP nên pt ko có nghiệm nguyên

TH3: \(\left(x-2\right)^2=4\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=4\\x=0\end{matrix}\right.\) thế vào (1):

- Với \(x=0\Rightarrow\left(-2y\right)^2+4=8\Rightarrow y^2=1\Rightarrow y=\pm1\)

- Với \(x=2\Rightarrow\left(2-2y\right)^2+4=8\Rightarrow\left(1-y\right)^2=1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=0\\y=2\end{matrix}\right.\)

Vậy pt có các cặp nghiệm là: 

\(\left(x;y\right)=\left(0;1\right);\left(0;-1\right);\left(2;0\right);\left(2;2\right)\)

b.

\(\Leftrightarrow2x^2+4y^2+4xy-4x=14\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+4xy+4y^2\right)+\left(x^2-4x+4\right)=18\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2y\right)^2+\left(x-2\right)^2=18\) (1)

Lý luận tương tự câu a ta được 

\(\left(x-2\right)^2\le18\Rightarrow\left(x-2\right)^2=\left\{0;1;4;9;16\right\}\)

Với \(\left(x-2\right)^2=\left\{0;1;4;16\right\}\) thì \(18-\left(x-2\right)^2\) ko phải SCP nên ko có giá trị nguyên x;y thỏa mãn

Với \(\left(x-2\right)^2=9\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=5\\x=-1\end{matrix}\right.\) thế vào (1)

- Với \(x=5\Rightarrow\left(5+2y\right)^2+9=18\Rightarrow\left(5+2y\right)^2=9\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}5+2y=3\\5+2y=-3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=-1\\y=-4\end{matrix}\right.\)

- Với \(x=-1\Rightarrow\left(-1+2y\right)^2=9\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}-1+2y=3\\-1+2y=-3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=2\\y=-1\end{matrix}\right.\)

Vậy \(\left(x;y\right)=\left(5;-1\right);\left(5;-4\right);\left(-1;3\right);\left(-1;-3\right)\)