Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn a+b+c=1.Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức Q=ac+bc-2022ab
câu1:
a) Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c =1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của biểu thức:
P=\(\frac{ab+bc+ca-abc}{a+2b+c}\)
b) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn \(^{a^2+b^2+c^2=1}\)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =ab +bc + ca .
Ta có thể giải bài toán này bằng cách sử dụng phương pháp điều chỉnh biểu thức P để biểu thức này có thể được phân tích thành tổng của các biểu thức có dạng a(x-y)+b(y-z)+c(z-x), trong đó x,y,z là các số thực không âm. Khi đó, ta có:
P = ab + bc - ca = a(b-c) + b(c-a) + c(a-b) = a(-c+b) + b(c-a) + c(-b+a) = a(x-y) + b(y-z) + c(z-x), với x = -c+b, y = c-a và z = -b+a
Do đó, để tìm giá trị lớn nhất của P, ta cần tìm các giá trị lớn nhất của x, y, z. Ta có:
x = -c+b ≤ b, vì c ≥ 0 y = c-a ≤ c ≤ 2022, vì a+b+c = 2022 z = -b+a ≤ a, vì b ≥ 0
Vậy giá trị lớn nhất của P là:
P_max = ab + bc - ca ≤ b(2022-a) + 2022a = 2022b
Tương tự, để tìm giá trị nhỏ nhất của P, ta cần tìm các giá trị nhỏ nhất của x, y, z. Ta có:
x = -c+b ≥ -2022, vì b ≤ 2022 y = c-a ≥ 0, vì c ≤ 2022 và a ≥ 0 z = -b+a ≥ -2022, vì a ≤ 2022
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là:
P_min = ab + bc - ca ≥ (-2022)a + 0b + (-2022)c = -2022(a+c)
Do đó, giá trị lớn nhất của P là 2022b và giá trị nhỏ nhất của P là -2022(a+c).
Với các số thực không âm a,b,c thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=1\), tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(Q=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\)
\(Q\le\sqrt{3\left(a+b+b+c+c+a\right)}=\sqrt{6\left(a+b+c\right)}\le\sqrt{6.\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}}=\sqrt{6\sqrt{3}}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
Lại có:
\(a^2+b^2+c^2\le1\Rightarrow0\le a;b;c\le1\)
\(\Leftrightarrow a\left(a-1\right)+b\left(b-1\right)+c\left(c-1\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow a+b+c\ge a^2+b^2+c^2=1\)
Do đó:
\(Q^2=2\left(a+b+c\right)+2\sqrt{a^2+ab+bc+ca}+2\sqrt{b^2+ab+bc+ca}+2\sqrt{c^2+ab+bc+ca}\)
\(Q^2\ge2\left(a+b+c\right)+2\sqrt{a^2}+2\sqrt{b^2}+2\sqrt{c^2}\)
\(Q^2\ge4\left(a+b+c\right)\ge4\)
\(\Rightarrow Q\ge2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;1\right)\) và hoán vị
Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn a + b + c =2021 .Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = \(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
\(\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)^2\le\left(1+1+1\right)\left(a+b+b+c+c+a\right)\)
\(=3\left(2a+2b+2c\right)=3.2\left(a+b+c\right)=6.2021=12126\)
\(\Rightarrow\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\le\sqrt{12126}\)
Dấu ''='' xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{2021}{3}\)
Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn a + b + c = 2021. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\)
\(P=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\)
áp dụng bunhia - cốpxki
\(P^2=\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)^2\le\left(1+1+1\right)\left(a+b+b+c+c+a\right)\)
\(=6\left(a+b+c\right)\)
\(=6.2021=12126< =>P=\sqrt{12126}\)
vậy MAX P=\(\sqrt{12126}\)
\(P=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\)
\(\Rightarrow P^2=\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)^2\)
Áp dụng BĐT Bunyakovsky ta có:
\(P^2\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(a+b+b+c+c+a\right)=6\left(a+b+c\right)=6\cdot2021\)
\(\Rightarrow P\le\sqrt{6\cdot2021}=\sqrt{12126}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c=\frac{2021}{3}\)
Vậy \(Max\left(P\right)=\sqrt{12126}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{2021}{3}\)
Ta có: \(P^2=\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)^2\)
\(=2\left(a+b+c\right)+2\left[\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\sqrt{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}+\sqrt{\left(c+a\right)\left(a+b\right)}\right]\)
\(=4042+2\left[\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\sqrt{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}+\sqrt{\left(c+a\right)\left(a+b\right)}\right]\)
Mà \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\ge\left(0+b\right)\left(b+0\right)=b^2\)
và \(\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge c^2\) ; \(\left(c+a\right)\left(a+b\right)\ge a^2\)
\(\Rightarrow P\ge4042+2\left(a+b+c\right)=4042+4042=8084\)
\(\Rightarrow P\ge2\sqrt{2021}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}a=2021\\b=c=0\end{cases}}\) và các hoán vị của nó
Vậy \(Min\left(P\right)=2\sqrt{2021}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=2021\\b=c=0\end{cases}}\)
Cho các số thực không âm $a, b, c$ thỏa mãn: $a+b+c=2021$. Tìm giá trị lớn nhất và giả trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}$.
\(P=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}\sqrt{c+a}\)
Aps dụng Bunhia-cốpxki : \(P^2=\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)\le\left(1+1+1\right)\left(a+b+b+c+c+a\right)\)
\(=6\left(a+b+c\right)\)
\(=6.2021=12126\Leftrightarrow P=\sqrt{12126}\)
Vậy \(Max\left(P\right)=\sqrt{12126}\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{2021}{3}\)
(Refer ;-;)
cho ba số thực không âm a,b,c thỏa mãn ab+ac+bc=1 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=\(\dfrac{a^2+b^2+c^2+3}{a+b+c-abc}\)
Lời giải:
Đặt $a+b+c=p; ab+bc+ac=q=1; abc=r$
$p,r\geq 0$
Áp dụng BĐT AM-GM: $p^2\geq 3q=3\Rightarrow p\geq \sqrt{3}$
$a,b,c\leq 1\Leftrightarrow (a-1)(b-1)(c-1)\leq 0$
$\Leftrightarrow p+r\leq 2\Rightarrow p\leq 2$
$P=\frac{(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)+3}{a+b+c-abc}=\frac{(a+b+c)^2+1}{a+b+c-abc}=\frac{p^2+1}{p-r}$
Ta sẽ cm $P\geq \frac{5}{2}$ hay $P_{\min}=\frac{5}{2}$
$\Leftrightarrow \frac{p^2+1}{p-r}\geq \frac{5}{2}$
$\Leftrightarrow 2p^2-5p+2+5r\geq 0(*)$
---------------------------
Thật vậy:
Áp dụng BĐT Schur thì:
$p^3+9r\geq 4p\Rightarrow 5r\geq \frac{20}{9}p-\frac{5}{9}p^3$
Khi đó:
$2p^2-5p+2+5r\geq 2p^2-5p+2+\frac{20}{9}p-\frac{5}{9}p^3=\frac{1}{9}(2-p)(5p^2-8p+9)\geq 0$ do $p\leq 2$ và $p\geq \sqrt{3}$
$\Rightarrow (*)$ được CM
$\Rightarrow P_{\min}=\frac{5}{2}$
Dấu "=" xảy ra khi $(a,b,c)=(1,1,0)$ và hoán vị
Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn: 0≤a≤b≤c≤1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Q= a2(b-c)+b2(c-b)+c2(1-c)
Lời giải:
Do $b\leq c; a^2\geq 0$ nên $a^2(b-c)\leq 0$
$\Rightarrow Q\leq b^2(c-b)+c^2(1-c)$
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(b^2(c-b)=4.\frac{b}{2}.\frac{b}{2}(c-b)\leq 4\left(\frac{\frac{b}{2}+\frac{b}{2}+c-b}{3}\right)^3=\frac{4}{27}c^3\)
\(\Rightarrow Q\leq c^2-\frac{23}{27}c^3=c^2(1-\frac{23}{27}c)=(\frac{54}{23})^2.\frac{23}{54}c.\frac{23}{54}c(1-\frac{23}{27}c)\leq (\frac{54}{23})^2\left(\frac{\frac{23}{54}c+\frac{23}{54}c+1-\frac{23}{27}c}{3}\right)^3=\frac{108}{529}\)
Vậy $Q_{max}=\frac{108}{529}$
Giá trị này đạt tại $(a,b,c)=(0,\frac{12}{23}, \frac{18}{23})$
Lời giải:
Do $b\leq c; a^2\geq 0$ nên $a^2(b-c)\leq 0$
$\Rightarrow Q\leq b^2(c-b)+c^2(1-c)$
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(b^2(c-b)=4.\frac{b}{2}.\frac{b}{2}(c-b)\leq 4\left(\frac{\frac{b}{2}+\frac{b}{2}+c-b}{3}\right)^3=\frac{4}{27}c^3\)
\(\Rightarrow Q\leq c^2-\frac{23}{27}c^3=c^2(1-\frac{23}{27}c)=(\frac{54}{23})^2.\frac{23}{54}c.\frac{23}{54}c(1-\frac{23}{27}c)\leq (\frac{54}{23})^2\left(\frac{\frac{23}{54}c+\frac{23}{54}c+1-\frac{23}{27}c}{3}\right)^3=\frac{108}{529}\)
Vậy $Q_{max}=\frac{108}{529}$
Giá trị này đạt tại $(a,b,c)=(0,\frac{12}{23}, \frac{18}{23})$
Cho 3 số thực không âm a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T = a + b2011 + c1954 – ab – bc – ac.
Do \(a^2+b^2+c^2=1\Rightarrow0\le a;b;c\le1\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)\le0\\b^{2011}\le b\\c^{2011}\le c\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow T\le a+b+c-ab-bc-ca=\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)+1-abc\le1-abc\le1\)
\(T_{max}=1\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;1\right)\) và các hoán vị