`@` `\text {dnv}`

`a,`

Xét `\Delta AMB` và `\Delta AMC`:

`\text {AB = AC} (\Delta ABC \text {cân tại A})`

`\hat {B} = \hat {C} (\Delta ABC \text {cân tại A})`

`\text {MB = MC (vì AM là đường trung tuyến)`

`=> \Delta AMB = \Delta AMC (c-g-c)`

`b,`

\(\text{Vì AM}\text{ }\cap\text{BN tại G}\)

\(\text{AM, BN đều là đường trung tuyến}\)

`->`\(\text{G là trọng tâm của }\Delta\text{ABC}\)

`@` Theo tính chất của trọng tâm trong tam giác

`->`\(\text{BG = }\dfrac{2}{3}\text{BN}\)

Mà `\text {BN = 15 cm}`

`->`\(\text{BG = }\dfrac{2}{3}\cdot15=\dfrac{15}{3}=5\text{ }\left(\text{cm}\right)\)

Vậy, độ dài của \(\text{BG là 5 cm}\).

`c,` Bạn xem lại đề!

Có điểm C' ?

Hình như là điểm C đó cậu.Chắc mình gõ nhầm

Chắc là "Sao cho G' là trung điểm AC" ??

Hình tự vẽ

a) Ta có : 

AG = GD . Mà GM = \(\frac{1}{2}\) AG 

=> GD = \(\frac{1}{2}\) AG 

Do AG = \(\frac{1}{3}\) AM

=> GD = \(\frac{2}{3}\) AM  (*)

Xét tứ giác GBDC ta có:

BM = MC ( gt ) (1)

GM= MD ( do GD = \(\frac{1}{2}\) AG ) (2)

Từ (1)(2) => Tứ giác GBDC là hình bình hành 

=> GC// và =BD ; BG // và =DC 

Xét tam giác ABD ta có:

AP = P B ( gt ) ( 3)

AG = GD ( gt ) (4)

Từ (3)(4) => PG là đường trung bình của tam giác ABD 

=> PG = \(\frac{1}{2}\)BD .Do BD = GC => PG=\(\frac{1}{2}\)GC 

Mà PG = \(\frac{1}{3}\)PC => GC =\(\frac{2}{3}\)PC(**)

Chứng mình tương tự . Xét tam giác ADC ( làm tường tự cái trên nha )

=> NG=\(\frac{2}{3}\)BN (***)

Từ (*)(**)(***) => Đpcm

b) Xét tam giác DBA ta có :

AG = GD ( gt )

BF=FD ( gt ) 

=> GF là đường trung bình bình của tam giác DAB 

=> GF = \(\frac{1}{2}\)AB( 5)

Ta có : DC = GB ( cm ở câu a )

Do BE = EG ; BG =\(\frac{2}{3}\)BN ( cm ở câu a)

=> EN = BG => EN= DC 

Mà BG// DC ( cm ở câu a) 

=> tứ giác ENCD là hình bình hành ( 1 cặp cạnh // và bằng nha )

=> DE=NC

Mà NC =\(\frac{1}{2}\)AC (6)

=> AN= NC 

Ta lại có BM=MC ( gt) => BI=\(\frac{1}{2}\)BC (7)

Từ (5)(6)(7) => Đpcm

c / tự làm đi nha câu này dài t nhác làm

Cho tam giác HPG có 3 trung tuyến HM,PA,GB cắt nhau tại T . Biết TH = 3 cm,TP=TG=4 cm                               a, Tính HM,PA,GB.                                 b, Chứng minh tam giác HPG cân

a, Xét tam giác ABC có G là trọng tâm 

=> \(PG=\frac{1}{3}PC\) ( t/c trọng tâm tam giác )

Xét tam giác ABG có GP và AF là các trung tuyến 

Mà GP cắt AF tại I nên I là trọng tâm 

=> \(PI=\frac{1}{3}PG=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}PC=\frac{1}{9}PC\) ( đpcm )

b, Ta có : G là trọng tâm nên AG=2GM mà GM=GE => AG=GE

BG=2GN mà GF=1/2 BG nên GF=GN 

Xét tứ giác AFEN có : AG=GE và GF=GN 

=> AFEN là hình bình hành vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường 

=> NE//AF và NE=AF