Lời giải:

$4500=2^2.3^2.5^3$

$x< y< z$ nên $x=3$.

Khi đó: $5^3+2.5^y+5^z=4500$

$\Rightarrow 2.5^y+5^z=4375$

$5^y(2+5^{z-y})=4375=5^4.7$

Vì $2+5^{z-y}\not\vdots 5$ với mọi $y< z$ nên $5^y=5^4\Rightarrow y=4$

$\Rightarrow 2+5^{z-y}=7$

$5^{z-4}=5\Rightarrow z-4=1\Rightarrow z=5$

Do VP là số lẻ

<=> 2x + 5y + 1 là số lẻ và \(2^{\left|x\right|}+y+x^2+x\) là số lẻ

<=> y chẵn và \(2^{\left|x\right|}+y+x\left(x+1\right)\) là số lẻ 

=> \(2^{\left|x\right|}\) là số lẻ (do y chẵn và x(x+1) chẵn)

=> x = 0

PT <=> \(\left(5y+1\right)\left(1+y\right)=105\)

<=> y = 4 (thử lại -> thỏa mãn)

KL: x = 0; y = 4

\(\hept{\begin{cases}5x+5y=30\\y+5z=12\\3x+5z=22\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=6-y\\y+5z=12\\3x+5z=22\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y+5z=12\\3\left(6-y\right)+5z=22\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y+5z=12\\-3y+5z=4\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y+5z=12\\3y-5z=-4\end{cases}}\)

\(\Rightarrow4y=8\Rightarrow y=2\)

Thay giá trị của y vào phương trình: -3y + 5z = 4

\(-3\times2+5z=4\)

\(\Rightarrow z=2\)

Thế giá trị của y vào phương trình: x = 6 - y

\(\Rightarrow x=4\)

\(2x^2+2xy+5y^2=\left(x+2y\right)^2+\left(x-y\right)^2\ge\left(x+2y\right)^2\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{x+2y}{3x+y+5z}+\dfrac{y+2z}{3y+z+5x}+\dfrac{z+2x}{3x+x+5y}\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{\left(x+2y\right)^2}{\left(x+2y\right)\left(3x+y+5z\right)}+\dfrac{\left(y+2z\right)^2}{\left(y+2z\right)\left(3y+z+5x\right)}+\dfrac{\left(z+2x\right)^2}{\left(z+2x\right)\left(3x+x+5y\right)}\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{\left(x+2y\right)^2}{3x^2+2y^2+7xy+5xz+10yz}+\dfrac{\left(y+2z\right)^2}{3y^2+2z^2+7yz+5xy+10xz}+\dfrac{\left(z+2x\right)^2}{3z^2+2x^2+7xz+5yz+10xy}\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{\left(x+2y+y+2z+z+2x\right)^2}{5\left(x^2+y^2+z^2\right)+22\left(xy+xz+yz\right)}\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{9\left(x+y+z\right)^2}{5\left(x+y+z\right)^2+12\left(xy+xz+yz\right)}\ge\dfrac{9\left(x+y+z\right)^2}{5\left(x+y+z\right)^2+\dfrac{12\left(x+y+z\right)^2}{3}}\)

\(\Rightarrow P\ge1\)

\(\Rightarrow P_{min}=1\) khi \(x=y=z\)