Vì n nguyên dương nên ta có \(n^2< n^2+n+1< n^2+2n+1\)

hay \(n^2< n^2+n+1< \left(n+1\right)^2\)

Mà n và (n+1) là hai số chính phương liên tiếp và \(n^2+n+1\)là số kẹp giữa  hai số ấy nên không thể là số chính phương.

 Với n nguyên dương thì 

n² < n² + n < n² + 2n

<=> n² < n² + n + 1 < n² + 2n + 1

<=> n² < n² + n + 1 < ( n + 1 )²

Vì n² + n + 1 kẹp giữa 2 SCP liên tiếp nên n² + n + 1 không phải là SCP ( đpcm )

Đặt \(n^3-n+2=a^2\)

<=>  \(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)+2=a^2\)

Vì \(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\equiv0\left(mod3\right)\)

=> \(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)+2\equiv2\left(mod3\right)\)

Mà   1 số chính phương chia 3 dư 0 hoặc 1

=>  \(n^3-n+2\) không thể là số chính phương

Vì n nguyên dương nên ta có:

n² < n² +n+1 < n² + 2n+1 hay n² < n² +n+1 < (n+1)²

Mà n và (n+1) là hai số chính phương liên tiếp và n²+n+1 là số kẹp giữa hai số đó nên không thể là số chính phương 

Ta thấy: \(n^2-n+2=n^2-\frac{1}{2}.2.n+\frac{1}{4}+\frac{7}{4}=\left(n-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{4}\)

Vì (n-1/2)^2 là số chính phương mà 7/4 ko là số chính phương nên x^2 - n + 2 không phải là số chính phương với mọi n >= 2

Do n \(\in\) N* nên 10ⁿ + 8 = (...0) + 8 = (...8)  => 10ⁿ + 8 có chữ số tận cùng là 8 nên không thể là số chính phương (bình phương của một số tự nhiên).

Do n không chính phương nên trong phân tích ra thừa số nguyên tố của n có ít nhất một thừa số p với số mũ lẻ, viết n=m^2.k với k không chia hết cho số chính phương nào, dễ thấy p chia hết k. 

Vậy Căn (n) = m.Căn (k) do đó chỉ cần chứng minh Căn (k) vô tỷ. 
Bây giờ giả sử Căn (k) = a/b với (a,b) = 1 => k.b^2 = a^2 
=> p chia hết a^2, vì p nguyên tố nên p chia hết a, dẫn đến p^2 chia hết a^2. 
Như vậy b^2 phải chia hết cho p vì k không chia hết cho p^2, dẫn đến p chia hết b, điều này chứng tỏ (a,b) = p > 1. (Mâu thuẫn) 

Tóm lại Căn (k) là vô tỷ, nói cách khác Căn (n) vô tỷ.

Tham khảo nè bác :)

Câu hỏi của Đỗ Văn Hoài Tuân - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath

Do n không chính phương nên trong phân tích ra thừa số nguyên tố của n có ít nhất một thừa số p với số mũ lẻ, viết n=m^2.k với k không chia hết cho số chính phương nào, dễ thấy p chia hết k. 

Vậy Căn (n) = m.Căn (k) do đó chỉ cần chứng minh Căn (k) vô tỷ. 

Bây giờ giả sử Căn (k) = a/b với (a,b) = 1 => k.b^2 = a^2 => p chia hết a^2, vì p nguyên tố nên p chia hết a, dẫn đến p^2 chia hết a^2. 

Như vậy b^2 phải chia hết cho p vì k không chia hết cho p^2, dẫn đến p chia hết b, điều này chứng tỏ (a,b) = p > 1. (Mâu thuẫn) Tóm lại Căn (k) là vô tỷ, nói cách khác Căn (n) vô tỷ

(đ.p.c.m)

=>căn n =a/b(b khác 0)(số hữu tỉ có thể biểu diễn như vậy)

<=> n=a^2/b^2

<=>a^2=b*c^2

mà a^2 và b^2 là hai số chính phương

=> n là số chính phương

=> trái giả thiết => giả sứ sai

=>a ko phải là số chính phương => căn a là số vô tỉ