Giả sử \(^{2^x+1=a^2}\), ta có:

<=> \(2^x=a^2-1\)

<=>\(2^x=a^2-a+a-1\)

<=>\(2^x=a\left(a-1\right)+\left(a-1\right)\)

<=>\(2^x=\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)

=>

(x=y+z)

=> \(2^y+1=2^z-1\)

<=>\(2^z-2^y=2\)

<=>\(2\left(2^{z-1}-2^{y-1}\right)=2\)

<=>\(2^{z-1}-2^{y-1}=1\)(chia cả 2 vế cho 2) (*)

Vì hiệu hai lũy thừa cơ số 2 và mũ khác 0 luôn là một số chia hết cho 2 nên biểu thức (*) xảy ra khi và chỉ khi:

=> x = y+z = 1+2 = 3.

\(A=x^4+x^3+1\) là số chính phương <=> \(k^2A,k\inℕ^∗\)cũng là số chính phương

Ở đây ta xét k=2\(\Rightarrow4A=4x^4+4x^3+4\)

Nếu \(x=1\Rightarrow4A=12\)không là số chinh phương

Xét \(2\le x\Rightarrow4\le x^2\Rightarrow4A\le4x^4+4x^3+x^2=\left(2x^2+x\right)^2\)

Ý tưởng ở đây là chứng minh 4A nằm giữa 2 sô chính phương liên tiếp, từ đó ta ép 4A vào rất ít trường hợp khả thi

Vậy nên ta chứng minh \(4A>\left(2x^2+x-1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow4x^4+4x^3+4>4x^4+x^2+1+4x^3-4x^2-2x\)

\(\Leftrightarrow3x^2+2x+3>0\)Đúng với mọi số tự nhiên x

Vậy \(\left(2x^2+x-1\right)^2< 4A\le\left(2x^2+x\right)^2\)

Lúc này 4A là số chính phương khi và chỉ khi \(4A=\left(2x^2+x\right)^2\Leftrightarrow x=2\)

Để 13x+3 là số chính phương  đặt 13.x + 3 = k² (k ∈ N) => x=1

<=>13.1+3=k2

13+3=k2

16=k2

=>k=4

=>x=16

x=1 hoac x=6

ĐỂ n^2 +n +2 là số chính phương 
=> n^2 +n+2 =a^2 (với a thuộc n) 
=> 4n^2 +4n +8 =4a^2 
=> (2n+1)^2 +7 =4a^2 
=> 4a^2 -(2n+1)^2 =7 
=> (2a -2n -1)(2a +2n+1) =7 (1) 
do 7>0 , 2a +2n +1>0(do a,n là số tự nhiên) => 2a-2n-1 >0 
(1) => 2a-2n-1 ,2a+2n+1 thuộc ước dương của 7 mà 2a +2n +1 >2a-2n-1 
=> 
{2a+2n+1=7 (2) 
{2a-2n-1=1(3) 
=> 4n+2 =6 =. 4n +2=6 => n=4 [cái này là lấy (2)-(3) ] 
vậy n=1 là số cần tìm 
~~~~~~~~~~~~~~

bn nên sửa lại đề bài thế này :

Tìm các số tự nhiên n để n^2+n+2 là 1 số chính phương.?

tk mk nha $_$