đầu tiên, bạn tính B=4^2004+4^2003+...+4^2+4+1 
Xét 4B = 4^2005+4^2004+...+4^2+4 
=> 4B-B = (4^2005+4^2004+...4^3+4^2+4) - (4^2004+4^2003+...+4^2+4+1) 
=> 3B = 4^2005 - 1 => B = (4^2005 - 1)/3 
=> A = 75 (4^2005 - 1)/3 +25 
= 25 (4^2005 -1) +25 
= 25 x 4 ^ 2005 
= 25 x 4 x 4 ^ 2004 = 100 x4 ^ 2004 

75chia hết cho5 nên A chia hết cho 5

Ta có :

\(A=75\left(4^{10}+4^9+...+1\right)+25\)

\(\Rightarrow A=75.4^{10}+75.4^9+....+75.4+75.1+25\)

\(\Rightarrow A=300.4^9+300.4^8+....+300+100\)

=> A chia hết cho 100

đáp án đây

\(M=75.4\left(4^{2020}+4^{2019}+...+4+1\right)+75+25=\)

\(=300.\left(4^{2020}+4^{2019}+...+4+1\right)+100=\)

\(=100\left[3.\left(4^{2020}+4^{2019}+...+4+1\right)+1\right]⋮100\)

Ta có M ⋮ 25 vì 75 ⋮ 25

Lại có M = 75 ( 4²⁰²¹ + 4²⁰²⁰ + ... + 4² + 4 + 1 )

= 75 . 4 ( 2²⁰²⁰ + 2²⁰¹⁹ + ... + 4 + 1 + 0,25 ) ⋮ 4 vì 4 ⋮ 4

Mà ( 25; 4 ) = 1 ⇒ M ⋮ 100

Vậy M ⋮ 100

đặt S=1+4+42+......+41999S=1+4+42+......+41999

⇒4S=4+42+43+....+42000⇒4S=4+42+43+....+42000

⇒4S−S=(4+42+43+....+42000)−(1+4+42+.....+41999)⇒4S−S=(4+42+43+....+42000)−(1+4+42+.....+41999)

⇒3S=42000−1⇒S=42000−13⇒3S=42000−1⇒S=42000−13

Khi đó A=75.S=75.42000−13=75.(42000−1)3=753.(42000−1)=25.(42000−1)=25.42000−25A=75.S=75.42000−13=75.(42000−1)3=753.(42000−1)=25.(42000−1)=25.42000−25

Ta có: 4²⁰⁰⁰-1=(4⁴)⁵⁰⁰-1=(...6)-1=....5

=>25.4²⁰⁰⁰-25=25.(....5)-25=(...5)-25=....0 chia hết cho 100

Vậy ta có điều phải chứng minh

Trong các phép chia sau, phép chia nào là phép chia hết, phép chia nào là phép chia có dư?

Viết kết quả phép chia dạng a = b.q+ r, với 0≤≤ r < b.

a) 144: 3;          b) 144: 13;        c) 144: 30.

Phương pháp: Viết kết quả phép chia dạng a = b.q+ r, với 0≤≤ r < b.

Nếu r = 0 thì phép chia hết, nếu 0<  r < b thì phép chia có dư

Lời giải chi tiết

144 = 3.48 + 0

=> Phép chia hết

b) 144 = 13.11 + 1

=> Phép chia có dư

c) 144 = 30.4 + 24

=> Phép chia có dư

\(A=75.\left(4^{2004}+4^{2003}+4^2+4+1\right)+25\)

\(A=75.\left(4^{2005}-1\right)\div3+25\)

\(A=25.\left(4^{2005}-1+1\right)\)

\(A=25.4^{2005}⋮100\)