Gọi giao điểm của AC và BD là O

Ta có:

OA+OB>AB ( bất đẳng thức tam giác)

OC+OD>CD ( bất đẳng thức tam giác)

=> AC+BD>AB+CD

Mà AC+CD>=AB+BD ( giả thiết)

=> 2AC+BD+CD>2AB+BD+CD

=> 2AC>2AB

=> AC>AB

Chứng minh

Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD

Trong \(\Delta\)AOB có:

AB < AO + OB ₍₁₎

Trong \(\Delta\)OCD có:

CD < CO + OD ₍₂₎

Cộng từng vế của (1) và (2) ta có:

AB + CD < (AO + OC) + (BO + OD)

hay AB + CD < AC + BD ₍₃₎

mà AB + BD \(\le\) AC + CD ₍₄₎

Từ (3) và (4) suy ra AB < AC

Giải

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD

Trong \(\Delta\)AOB có: AB < AO + OB (1)

Trong \(\Delta\)OCD có: CD < CO + OD (2)

Cộng từng vế của (1) và (2) ta có:

AB + CD < (AO + OC) + (BO + OD)

hay AB + CD < AC + BC (3)

mà AB + BD \(\le\) AC + CD (4)

Từ (3) và (4) suy ra AB < AC

Ta có tứ giác ABCD bất kì.

Mà \(AB+BD\) \(\text{< AC}\)\(+CD\) \(\left(gt\right)\left(1\right)\)

Xét \(\Delta ABD\) có:

\(BD< AB+AD\) (trong tam giác thì tổng 2 cạnh luôn lớn hơn cạnh thứ ba)

Suy ra: \(AB+BD\) \(\text{< AB}< AB\)\(+AD+AB \) (cộng AB cho cả 2 vế)

\(AB+BD \)\(\text{< 2AB}\)\(+AD\left(2\right)\)

Xét \(\Delta ACD\) có:

\(\text{CD < AD+AC }\)

Suy ra: \(AC+CD\) \(< AD+AC+AC \)

\(AC+CD \)\(< 2AC+AD\left(3\right)\)

Thay \(\left(2\right),\left(3\right)\) vào \(\left(1\right)\) ta có:

2AB+AD < 2AC+AD

\(\Leftrightarrow2AB< 2AC\)

\(\Leftrightarrow AB< AC\left(đpcm\right)\)