giải theo nguyên lý Dirichlet nhé

Xét tổng quát

Xét 10001 số hạng 2019,2019²,...,2019¹⁰⁰⁰¹

Theo nguyên lí Dirichlet co 2 số có cùng số dư khi chia co 10000

Gọi 2 số đó là 2019^m và 2019ⁿ(m,n là số tự nhiên, m>n)=> 2019^m-2019ⁿ=....0000

Vậy............

Trong phép chia cho 1000 có 1000 số dư là 0,1,2,3,...,999.

Xét 1001 số: 3,3²,3³,...,3¹⁰⁰¹ thì tồn tại 2 số có cùng số dư trong phép chia cho 1000.

Gọi 2 só đó là 3^a và 3^b (1=<a=<b=<1001). 3^a-3^b chia hết cho 1000

=> 3^b.(3^a-b-1) chia hết cho 1000.

Ta có: (3^b,1000)=1 => 3^a-b-1 chia hết cho 1000 => 3^a-b có tậm cùng là 0001.

d) Ta có A chia hết cho 3 

=> 2A chia hết cho 3 mà 3 cũng chia hết cho 3

=> 2A+3 chia hết cho A

a)

\(A=3+3^2+3^3+3^4+...+3^{120}\)

\(\Rightarrow3A=3.\left(3+3^2+3^3+3^4+...+3^{120}\right)\)

\(\Rightarrow3A=3^2+3^3+3^4+3^5+...+3^{121}\)

\(\Rightarrow3A-A=\left(3^2+3^3+3^4+3^5+...+3^{121}\right)-\left(3+3^2+3^3+3^4+...+3^{120}\right)\)

\(\Rightarrow2A=3^{121}-3\)

\(\Rightarrow A=\frac{3^{121}-3}{2}\)

b)

\(2A+3\)

\(=3^{121}-3+3\)

\(=3^{121}\)

Mà 3¹²¹ là lũy thừa của 3

\(\Rightarrow\) 2A + 3 là lũy thừa của 3.

Trong phép chia cho 1000 có 1000 số dư là 0,1,2,3,...,999.

Xét 1001 số: 3,32,33,...,31001 thì tồn tại 2 số có cùng số dư trong phép chia cho 1000.

Gọi 2 só đó là 3a và 3b (1=<a=<b=<1001). 3a-3b chia hết cho 1000

=> 3b.(3a-b-1) chia hết cho 1000.

Ta có: (3b,1000)=1 => 3a-b-1 chia hết cho 1000 => 3a-b có tậm cùng là 0001.