=> ƯC(n+3;2n+5)=1\(Taco:n+3⋮d;2n+5⋮d\Rightarrow2n+6⋮d\Rightarrow2n+6-2n+5⋮d\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d\in\left\{\mp1\right\}\)

Gọi ƯCLN của 2n + 1 và 3n + 1 là d

Khi đó : 2n + 1 chai hết cho d ; 3n + 1 chia hết cho d

<=> 3.(2n + 1) chia hết cho d ; 2.(3n + 1) chia hết cho d

=> 6n + 3 chai hết cho d và 6n + 2 chia hết cho d

=> (6n + 3) - (6n + 2) = 1 chia hetes cho d

=> 1 chia hết cho d

=> ƯCLN (2n + 1;3n + 1) = 1

=> ƯC(2n + 1;3n + 1) = {1}  

Đặt UCLN của (2n+1, 3n+1) = d

=> 2n+1 chia hết cho d và 3n+1 chia hết cho d

=> 6n+3 chia hết cho d và 6n+2 chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

Vậy ước chung của 2n+1 và 3n+1 là 1

Gọi ước chung của 4n+1 và 6n+1 là số tự nhiên x.Ta có :

4n+1 và 6n+1 thuộc B(x) => 6(4n+1); 4(6n+1) hay 24n+6;24n+4 thuộc B(x)

=> (24n+6) - (24n+4) = 2 thuộc B(x) => x = 1;2 mà 4n;6n chẵn nên 4n+1;6n+1 lẻ (không thuộc B(2) )

=> x khác 2 và bằng 1 => 4n+1;6n+1 là 2 số nguyên tố cùng nhau

=> 4n+1 / 6n+1 là phân số tối giản (n thuộc N) 

Gọi d là ước chung của n + 3 và 2n + 5 (  \(n\in N\))

Vì n + 3 \(⋮\)d \(\Rightarrow\)2.( n + 3 ) \(⋮\)d \(\Rightarrow\)2n + 6 \(⋮\)d.

Vì 2n + 6 \(⋮\)d ; 2n + 5 \(⋮\)d \(\Rightarrow\)( 2n + 6 ) - ( 2n + 5 ) \(⋮\)d

\(\Rightarrow\)1 \(⋮\)d \(\Rightarrow\)d = 1

Vậy ước chung của n + 3 và 2n + 5 là 1

Ta có : 

n+3 và 2n+5 (1)

=> 2n+6 và 2n+5 

\(\text{Đặt }d=\text{ƯCLN( n + 3 , 2n + 5 )}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(n+3\right)\\2n+5\end{cases}}⋮d\)

\(\text{Vì }\left(n+3\right)\Rightarrow\hept{\begin{cases}2\left(n+3\right)⋮d\\2n+6⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow2n+6-2n-5⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

\(\text{Vậy ƯCLN }\left(n+3,2n+5\right)=1\)

gọi d là UC của n+3 và 2n+5 
=> d là ước của 2(n+3) = 2n+6 = 2n+5 + 1 
mà d là ước của 2n+5 => d là ước của 1 => d = 1 

Gọi d =(A=n+3;B=2n+5)

=> A;B chia hết cho d

=> B -2A = 2n+5 - n -3 = 2 chai hết cho d

=> d thuộc {1;2}

+ d =2  loại vì B =2n+5 là số lẻ 

Vậy d =1 

Vậy (A;B) =1