(+) Th1 : a = b 

=> \(\frac{a}{b}=1\) và \(\frac{a+n}{b+n}=1\)

=> \(\frac{a}{b}=\frac{a+n}{b+n}\)

(+) th2 : a < b 

\(\frac{a}{b}=\frac{a\left(b+n\right)}{b\left(b+n\right)}=\frac{ab+an}{b\left(b+n\right)}\)

\(\frac{a+n}{b+n}=\frac{b\left(a+n\right)}{b\left(b+n\right)}=\frac{ab+an}{b\left(b+n\right)}\)

Vì a < b và n thuộc N* => an < bn => ab + an < ab + bn => \(\frac{ab+an}{b\left(b+n\right)}

Ta có: a/b<a+n/b+n <=> a(b+n)<b(a+n) 

                                      <=> a.b+a.n<b.a+b.n

                                      <=> a.n<b.n

                                      <=> a<b                                                =>a/b<a+n/b+n <=> a<b

    Tương tự: a/b>a+n/b+n <=> a>b

nếu a/b <1 suy ra a/b<a+n/b+n

nếu a/b>1 suy ra a/b>a+n/b+n

vì a,b thuộc N*

=>a+n/b+n>a/b

Vì a,b \(\in\)N* nên \(\frac{a+n}{b+n}>\frac{a}{b}\)(dựa vào công thức )

Vậy \(\frac{a+n}{b+n}>\frac{a}{b}\)

Trả lời :

Ta xét 3 trường hợp :  \(\frac{a}{b}\)= 1    

\(\frac{a}{b}\)> 1

\(\frac{a}{b}\)< 1

TH1 : \(\frac{a}{b}\)= 1 <=> a = b thì \(\frac{a+n}{b+n}\)= \(\frac{a}{b}\)=1

TH2 : \(\frac{a}{b}\)> 1 <=> a > b <=> a + n > b + n 

Mà \(\frac{a+n}{b+n}\) có phần thừa so với 1 là \(\frac{a-b}{b+n}\)

\(\frac{a}{b}\)có phần thừa so với 1 là \(\frac{a-b}{b}\), vì \(\frac{a-b}{b+n}\)< \(\frac{a-b}{b}\)nên \(\frac{a+n}{b+n}\)< \(\frac{a}{b}\)

TH3 : \(\frac{a}{b}\)< 1 <=> a < b <=> a + n < b + n

Khi đó \(\frac{a+n}{b+n}\)có phần bù tới 1 là \(\frac{a-b}{b}\) , vì \(\frac{a-b}{b}\)< \(\frac{b-a}{b+n}\)nên \(\frac{a+n}{b+n}\)> \(\frac{a}{b}\)

để so sánh, ta xét hiệu a/b và a+n/b+n có: \(\frac{a}{b}-\frac{a+n}{b+n}=\frac{ab+an-ab-bn}{b\left(b+n\right)}=\frac{n\left(a-b\right)}{b\left(b+n\right)}\)

ta có mẫu gồm các số >0 => mẫu dương. n>0. nếu a>b => a-b>0 <=> \(\frac{n\left(a-b\right)}{b\left(b+n\right)}>0\Rightarrow\frac{a}{b}>\frac{a+n}{b+n}\). nếu a<b <=> a-b<0 => \(\frac{n\left(a-b\right)}{b\left(b+n\right)}

nếu a/b<1 => a/b< a+n/ b+n

nếu a/b>1=> a/b> a+n/ b+n

còn các câu áp dụng thì tự làm nhé

ta có a/b=a(b+n)/b(b+n)

a+n/b+n=b(a+n)/(b+n)b

mà a(b+n)/b(b+n)=b(a+n)/(b+n)b

nên a/b=a+n/b+n

Ta luôn thu đc kết quả so sánh:

\(\frac{A+N}{B+N}>\frac{A}{B}\)

Đáp số:

\(\frac{a+n}{b+n}>\frac{a}{b}\)