Có bổ đề sau: \(a^2=pq\) với \(a,p,q\in Z^+\) và \(\left(p,q\right)=1\) thì p,q là hai số chính phương

\(2a^2-2b^2+a-b=b^2\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(2a+2b+1\right)=b^2\)(*)
Gọi d là UWCLN của a-b và 2a+2b+1 ta có từ (*) b chia hết d.

a-b chia hết cho d nên 2a-2b chia hết cho d . Vậy 2a+2b+1-(2a-2b) chia hết d

nên 4b+1 chia hết d mà b chia hết cho d nên 1 chia hết d. Vậy hai số a-b và 2a+2b+1 nguyên tố cùng nhau

Áp dụng bổ đề có đpcm

Bài toán này dựa trên bài toán mà bạn đã đăng hôm trước: nếu \(m^2+n^2\) chia hết cho 7 thì cả m và n đều chia hết cho 7.

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}5a+2b=m^2\\2a+5b=n^2\end{matrix}\right.\) 

\(\Rightarrow7\left(a+b\right)=m^2+n^2\)

\(\Rightarrow m^2+n^2⋮7\)

\(\Rightarrow m;n\) đều chia hết cho 7

\(\Rightarrow m^2;n^2\) đều chia hết cho 49

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}5a+2b⋮49\\2a+5b⋮49\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3\left(a-b\right)⋮49\\7\left(a+b\right)⋮49\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b⋮7\\a+b⋮7\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2a⋮7\\2b⋮7\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a⋮7\\b⋮7\end{matrix}\right.\) (đpcm)

Ta có: 

\(a^2+b^2+4=2ab+4a+4b\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+4-2ab-4b+4a=8a\)

\(\Rightarrow\left(a-b+2\right)^2=8a\)

\(\Rightarrow\frac{a}{2}=\frac{\left(a-b+2\right)^2}{16}=\left(\frac{a-b+2}{4}\right)^2\)

=> \(\frac{a}{2}\)là số chính phương.

Sao lại bằng 8a chỗ đấy ạ. Bạn giải thích hộ mình với

\(a^2+b^2+4=2ab+4a+4b\)

Chuyển vế:

\(a^2+b^2+4-2ab-4b=4a\)

Thêm 4a vào 2 vế

\(a^2+b^2+4-2ab-4b+4a=4a+4a\)

\(a^2+b^2+4-2ab-4b+4a=8a\)

 a+3c +a+2b = 17 

=>2a +2b +3c = 17

=>2.(a+b)+3c=17

=>a+b+3c/2=17/2

=> N= a+b-c-17/2=a+b-c-a-b -3c/2=-c-3c/2

=> N là các số  không âm

Bài 2. a/ \(1\le a,b,c\le3\)  \(\Rightarrow\left(a-1\right).\left(a-3\right)\le0\) , \(\left(b-1\right)\left(b-3\right)\le0\), \(\left(c-1\right).\left(c-3\right)\le0\)

Cộng theo vế : \(a^2+b^2+c^2\le4a+4b+4c-9\)

\(\Rightarrow a+b+c\ge\frac{a^2+b^2+c^2+9}{4}=7\)

Vậy min E = 7 tại chẳng hạn, x = y = 3, z = 1

b/ Ta có : \(x+2y+z=\left(x+y\right)+\left(y+z\right)\ge2\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\) 

Tương tự : \(y+2z+x\ge2\sqrt{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\) , \(z+2y+x\ge2\sqrt{\left(z+y\right)\left(y+x\right)}\)

Nhân theo vế : \(\left(x+2y+z\right)\left(y+2z+x\right)\left(z+2y+x\right)\ge8\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\) hay

\(\left(x+2y+z\right)\left(y+2z+x\right)\left(z+2y+x\right)\ge64\)

chẵng biết

khó lắm ai làm được tui chuyển 10k qa tài khoản ngân hàng =) nói là làm