Ta có :

\(\left(x^2+4y^2+28\right)^2=17\left(x^4+y^4+14y^2+49\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[x^2+4\left(y^2+7\right)\right]^2=17\left[x^4+\left(y^2+7\right)^2\right]\)

\(\Leftrightarrow16x^4-8x^2\left(y^2+7\right)+\left(y^2+7\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left[4x^2-\left(y^2+7\right)\right]^2=0\)

\(\Leftrightarrow4x^2-y^2-7=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+y\right)\left(2x-y\right)=7\)

Vì x , y nguyên dương nên \(2x+y>0\) và \(2x+y>2x-y\)

Do đó : \(\left[\begin{array}{nghiempt}2x+y=7\\2x-y=1\end{array}\right.\) \(\Rightarrow x=2;y=3\)

\(16y^4+\left(8x^2+244\right)y^2+x^4+56x^2+784+17x^4+833\)

\(-17y^4+16y^4-238y^2+\left(8x^2+224\right)y^2-4=0\)

\(-\left[y^4+\left(8x^2+14\right)y^2+16x^4-56x^2+4\right]\)

\(\Leftrightarrow\text{[}x^2+4\left(y^2+7\right)\text{]}^2=17\text{[}x^4+\left(y^2+7\right)^2\text{]}\)

\(\Leftrightarrow\)
[x⁴+8(y²+7)+16(y²+7)²=17[x⁴+17(y²+7)²]
\(\Leftrightarrow\)16x⁴-8(y²+7)+(y²+7)²=0

\(\Leftrightarrow\)4x²-(y²+7)=0
\(\Leftrightarrow\)
(2x-y)(2x+y)=7                (1)
Do x. y là các số tự nhiên nên 2x+y>2x-y>0 nên từ (1) \(\Rightarrow\)\(\begin{cases}2x-y=1\\2x+y=7\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=2\\y=3\end{cases}}\)

\(\left(x^2+4z\right)^2=17\left(x^4+z^2\right)\)

\(x^4+8x^2z+16z^2=17x^4+17z^2\)

\(t^4-2t^2z+z^2=\left(t^2-z\right)^2=0\)

Nghiệm duy nhất: \(t^2=z\Rightarrow t^2=y^2+7\Rightarrow\hept{\begin{cases}t=4\Rightarrow x=2\\y=3\end{cases}}\)KL (x,y)=(2,3)

Dịt cụ mày

mày bị ngáo ak. đã xấu còn bị điên. đã bị điên cò học dốt

y^2+7=z

\(\Leftrightarrow x^2+4z=17\left(x^4+z^2\right)\)Hiển nhiên \(VP\ge VT\) đẳng thức chỉ xẩy ra khi x=z=0

với z=0=> y^2+7=0 vô nghiệm

KL vô nghiệm nguyên

\(\left(x^2+4y^2+28\right)^2=17\left[x^4+\left(y^2+7\right)^2\right]\)

y^2 +7 =z

\(\Leftrightarrow x^4+8xz+16z^2=17x^4+17z^2\)

\(\Leftrightarrow16x^4+z^2-8xz=0\)\(\Leftrightarrow\left(4x^2-z\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow4x^2=z\Leftrightarrow4x^2-y^2=7\)

\(\left\{{}\begin{matrix}4x^2=16\\y^2=9\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left(x;y\right)=\left(\pm2;\pm3\right)\)

\(\Leftrightarrow-\left(4x^2-y^2-7\right)^2=0\)

SURPRISE MOTHERFUKA !!

\(\left(x^2+4y^2+28\right)^2=17\left(x^4+y^4+14y^2+49\right)\)

đặt \(z=y^2+7;y\in N;z\in Z;z\ge7\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+4z\right)^2=17\left(x^4+z^2\right)\)

\(\Leftrightarrow x^4+8x^2z+16z^2=17x^4+17z^2\)

\(\Leftrightarrow16x^4-8x^2z+z^2=0\Leftrightarrow\left(4x-z\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow4x^2=z\Leftrightarrow y^2+7=4x^2\Leftrightarrow\left(2x\right)^2-y^2=7\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(2x\right)^2=16\\y^2=9\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow x,y,\in N;\left(x;y\right)=\left(2;3\right)\)

sửa \(x^4+y^4+14y^2+49\)

$(x^2+4y^2+28)^2=17(x^4+y^4+14y^2+49)$ - Số học - Diễn đàn Toán học

Hướng dẫn: đặt \(A=\dfrac{y^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\dfrac{z^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\dfrac{x^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\)

Khi đó \(F-A=x-y+y-z+z-x=0\Rightarrow F=A\)

\(\Rightarrow2F=F+A=\sum\dfrac{x^4+y^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}\ge\sum\dfrac{\left(x^2+y^2\right)^2}{2\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}\ge\sum\dfrac{\left(x+y\right)^2\left(x^2+y^2\right)}{4\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}\)

\(\Rightarrow2F\ge\dfrac{x+y+z}{2}\Rightarrow F\ge\dfrac{x+y+z}{4}\)

mọi người t ủng hộ mk nha