c/m: 10^n + 18n - 1 chia hết cho 27
10^n + 18n - 1= (10^n - 1) + 18n
10^n -1: vs n=2 10^2-1=99 (2 chữ số 9)
vs n=3 10^3-1=999 (3 chữ số 9)
10^n -1=99...9(n chữ số 9)
10^n -1 - 18n=99...9 + 18n
=9(11...1 + 2n) (11....1 có n chữ số 1)
=[9x3(11...1 + 2n)]/3 (Nhân 3 rồi chia cho 3)
=27[(11...1 + 2n)]/3]
Vậy ta cần chứng minh 11...1 + 2n chia hết cho 3 thì biểu thức trên sẽ chia hết cho 27
dấu hiệu của 1 số chia hết cho 3 là tổng các số trong số đó sẽ chia hết cho 3
Xét số 11...1=1+1+...+1 (n chữ số 1)
vs n=2 =>1+1=2=n
n=3 =>1+1+1=3=n
vậy tổng các chữ số của 11...1=1+1+...+1=n (n chữ số 1)
=>11...1+2n có tổng các chữ số =n+2n=3n hiển nhiên chia hết cho 3 (đpcm)

S=(5+5²+5³+5⁴)+(5⁵+5⁶+5⁷+5⁸)+...........+(5²⁰⁰⁹+5²⁰¹⁰+5²⁰¹¹+5²⁰¹²)

  =780+5⁴(5+5²+5³+5⁴)+...........+5²⁰⁰⁸(5+5²+5³+5⁴)

  =65*12 + 5⁴*65*12 + .......... + 5²⁰⁰⁸*65*12

  =65*12(1+5⁴+...+5²⁰⁰⁸) chia hết cho 65

=> S chia hết cho 65

nếu a + b chia hết cho 3
thì a chia hết cho 3
     b chia hết cho 3
nên a³ + b³ chia hết cho 3 
sai chỗ nào thì sửa giúp mik nha ^^

\(a^3+b^3=\left(a+b\right).\left(a^2-ab+b^2\right)\))

mà a+b chia hết cho 3 nên \(a^3+b^3\)chia hết cho 3

Gọi 2 số đó là a,b.

Theo bài ra ta có:a+b⋮6a+b⋮6

Xét hiệu:(a3+b3)−(a+b)(a3+b3)−(a+b)

=a3−a+b3−b=a3−a+b3−b

=a(a2−1)+b(b2−1)=a(a2−1)+b(b2−1)

=(a−1)(a+1)a+(b−1)(b+1)b=(a−1)(a+1)a+(b−1)(b+1)b

Mà tích 3 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3

⇒⇒(a−1)(a+1)a⋮3,(b−1)(b+1)b⋮3(a−1)(a+1)a⋮3,(b−1)(b+1)b⋮3

⇒⇒(a−1)(a+1)a+(b−1)(b+1)b⋮3(a−1)(a+1)a+(b−1)(b+1)b⋮3

⇒(a3−b3)−(a+b)⋮3⇒(a3−b3)−(a+b)⋮3

Mà a+b⋮3⇒a3+b3⋮3(ĐPCM)

help me

Lời giải:
Vì số chia là $19$ nên số dư $r<19$.

Mà $r$ là 1 số tự nhiên khác $0$ và chia hết cho $9$ nên $r$ có thể là $9$ hoặc $18$

Nếu $r=9$ thì: $a=19\times 68+9=1301$

Nếu $r=18$ thì $a=19\times 68+18=1310$