đặt A=1/2^2+1/3^2+1/4^2+...+1/100^2

B=1/2.3+1/3.4+...+1/99.100

=1/1.2+1/2.3+1/3.4+...+1/99.100

=1-1/2+1/2-1/3+...+1/99-1/100

=1-1/100<1 (1)

Mà 1<2(2)

A =1/1+1/2.2+1/3.3+...+1/100.100<1-1/2+1/2-1/3+...+1/99-1/100 (3)

từ (1),(2),(3) =>A<2

\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}<\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{99.100}\Rightarrow\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}<1-\frac{1}{100}<1\Rightarrow\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}<1\)

Ta có :.......

\(=\frac{1}{2.2}+\frac{1}{3.3}+\frac{1}{4.4}+...+\frac{1}{100.100}\)

\(<\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{99.100}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{99.100}\)\(=1-\frac{1}{100}=\frac{99}{100}<1\)

vậy ra cái bạn phải chứng minh (theo tính chất bắc cầu )

mình chỉ gợi ý thôi, vì viết cái này mỏi tay lắm thông cảm nha

Ở phần ''a'' bạn hãy đổi ra thành:2=2;4=2;.....sau dó bạn CM \(\frac{1}{2^2}<\frac{1}{1.2}.....\) rồi hãy suy ra nhỏ hơn \(\frac{1}{3}\)

còn phần ''b'' bạn hãy tách ra nha 

à chỗ 2=2;4=2 bạn sửa thành : \(2=2^1;4=2^2\) nhé

dễ mà mình làm hoài hà bạn nhân A cho \(\frac{1}{3}\)rồi sau đó cộng A và \(\frac{1}{3}\times A\) lại tiếp theo tự tính

Ta có : 

\(1>\frac{1}{10}=\frac{1}{\sqrt{100}}\)

\(\frac{1}{\sqrt{2}}>\frac{1}{\sqrt{100}}\)

\(\frac{1}{\sqrt{3}}>\frac{1}{\sqrt{100}}\)

\(............\)

\(\frac{1}{\sqrt{100}}=\frac{1}{\sqrt{100}}\)

\(\Rightarrow\)\(A=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}>\frac{1}{\sqrt{100}}+\frac{1}{\sqrt{100}}+\frac{1}{\sqrt{100}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}\)

Do từ \(1\) đến \(100\) có \(100-1+1=100\) số tự nhiên nên có \(100\) phân số \(\frac{1}{\sqrt{100}}\) ta được : 

\(A>100.\frac{1}{\sqrt{100}}=\frac{100}{\sqrt{100}}=\frac{100}{10}=10\)

\(\Rightarrow\)\(A>10\) ( đpcm ) 

Vậy \(A>10\)

Chúc bạn học tốt ~ 

Dat A=1/3-2/3²+3/3³-4/3⁴+...+99/3⁹⁹-100/3¹⁰⁰

3A=1-2/3+3/3²-4/3³+...+99/3⁹⁸-100/3⁹⁹

3A+A=1-1/3+1/3²-1/3³+...+1/3⁹⁸-1/3⁹⁹-100/3¹⁰⁰=4A

4A.3=3-1+1/3-1/3²+...+1/3⁹⁷-1/3⁹⁸-100/3⁹⁹=12A

4A+12A=3-100/3⁹⁹-1/3⁹⁹-100/3¹⁰⁰

16A=3-300/3¹⁰⁰-3/3¹⁰⁰-100/3¹⁰⁰=3-403/3¹⁰⁰<3

A<3/16

Chung to...

\(B< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{7.8}\)

\(B< \frac{2-1}{1.2}+\frac{3-2}{2.3}+\frac{4-3}{3.4}+...+\frac{8-7}{7.8}\)

\(B< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}\)

\(B< 1-\frac{1}{8}< 1\left(dpcm\right)\)

c) \(M=\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}...\frac{99}{100}< \frac{1}{2}.\frac{4}{4}.\frac{6}{6}...\frac{100}{100}=\frac{1}{2}\)

a) M . N = \(\left(\frac{1}{2.}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}...\frac{99}{100}\right).\left(\frac{2}{3}.\frac{4}{5}.\frac{6}{7}...\frac{100}{101}\right)=\frac{1.2.3.4....100}{2.3.4.5...101}=\frac{1}{101}\)

C=1/2*2+1/4*4+1/6*6+...+1/100*100.

C<1/4+1/2*4+1/4*6+1/6*8+...+1/98*100.

C<1/4+1/2*(2/2*4+2/4*6+2/6*8+...+2/98*100).

C<1/4+1/2*(1/2-1/4+1/4-1/6+1/6-1/8+...+1/98-1/100).

C<1/4+1/2*(1/2-1/100).

C<1/4+1/2*49/100.

C<1/4+49/200.

C<1/4+50/200=1/2.

Vậy C<1/2.

ta có \(\frac{1}{2\cdot2}+\frac{1}{4\cdot4}+\frac{1}{6\cdot6}+.........+\frac{1}{100\cdot100}\)

\(< \frac{1}{4}+\frac{1}{2x4}+\frac{1}{4\cdot6}+\frac{1}{6\cdot8}+........+\frac{1}{98\cdot100}\)

\(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+......+\frac{1}{98\cdot100}\right)\)

=\(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{100}\right)=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\cdot\frac{49}{100}=\frac{1}{4}+\frac{49}{200}\)

tự làm nốt