Cho tam giác ABC và điểm M nằm trong tam giác. Các đường thẳng AM,BM,CM lần lượt cắt BC, CA, AB tại A' ,B' ,C' Chứng minh rằng:
B'A/B'C + C'A/C''B = MA/MA'
Cho tam giác ABC và điểm M nằm trong tam giác. Gọi AM, BM, CM cắt BC, CA, AB lần lượt tại A', B', C'. Chứng minh rằng M là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi M là trọng tâm tam giác A'B'C'
ABC các đường thẳng AM, BM, CM lần lượt cắt BC, CA, AB tại A' , B' , C' chứng minh rằng M là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi M là trọng tâm của tam giác A'B'C'
Cho M là điểm nằm trong tam giác ABC. Các đường thẳng AM,BM,CM cắt BC,CA,AB lần lượt tại A1,B1,C1
Tìm vị trí của M để \(P=\frac{MA}{MA_1}.\frac{MB}{MB_1}.\frac{MC}{MC_1}\) nhỏ nhất
Từ A dựng đường cao AH, M dựng đường cao MD ( H, D thuộc BC )
\(\left(S_{MAB};S_{MBC};S_{MAC}\right)\rightarrow\left(S_1;S_2;S_3\right)\)
\(\Delta HAA_1\) có \(AH//MD\left(\perp BC\right)\) áp dụng Ta-let \(\Rightarrow\)\(\frac{AA_1}{MA_1}=\frac{AH}{MD}=\frac{\frac{1}{2}AH.BC}{\frac{1}{2}MD.BC}=\frac{S_{ABC}}{S_2}\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{AA_1}{MA_1}-1=\frac{MA}{MA_1}=\frac{S_{ABC}}{S_2}-1=\frac{S_1+S_3}{S_2}\)
Tương tự( dựng các đường cao hạ từ B, M và C, M ) ta cũng có: \(\frac{MB}{MB_1}=\frac{S_1+S_2}{S_3};\frac{MC}{MC_3}=\frac{S_2+S_3}{S_1}\)
Do đó: \(P=\frac{MA}{MA_1}.\frac{MB}{MB_1}.\frac{MC}{MC_1}=\frac{\left(S_1+S_2\right)\left(S_2+S_3\right)\left(S_3+S_1\right)}{S_1S_2S_3}\)
\(\ge\frac{2\sqrt{S_1S_2}.2\sqrt{S_2S_3}.2\sqrt{S_3S_1}}{S_1S_2S_3}=\frac{8\sqrt{\left(S_1S_2S_3\right)^2}}{S_1S_2S_3}=8\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\) tam giác ABC là tam giác đều và có 3 đường trung trực đồng quy tại M
Từ điểm M nằm trong tam giác ABC lằn lượt vẽ các đường thẳng vuông góc với BC,CA,AB tại D,E,F. Trên các tia MD,ME,MF lằn lượt lấy các điểm A`,B`,C` sao cho MA`/BC=MB`/CA=MC`/AB. Chứng minh rằng M là trọng tâm của tam giác A`B`C`
Bài 1 : Cho tam giác ABC cân tại A (AB > BC). Trên tia BC lấy điểm M sao cho MA = MB. Vẽ Bx // AM (Bx và AM cùng nằm trong nửa mp bờ AB). Trên tia Bx lấy điểm N sao cho BN = CM. Chứng minh : a) tam giác ABN = tam giác ACM b) tam giác AMN cân
Bài 2 : cho tam giác ABC cân tại B . Các đường thẳng trung trực CA và CB cắt nhau tại D . H và K lần lượt là trung điểm của CA và CB . cmr a, CD là tia phân giác của góc C b, HK song song với AB
Giúp tau vs ngày mai là tau phải nộp bài rồi 😭😭
Cho tam giác ABC, G là trọng tâm, M là một điểm nằm trong tam giác \(\left(M\ne G\right)\) . Đường thẳng MG cắt các đường thẳng AB, BC, CA lần lượt tại C', A', B'. Chứng minh rằng: \(\frac{MA'}{GA'}+\frac{MB'}{GB'}+\frac{MC'}{GC'}=3\)
TA CÓ
\(\frac{MC,}{GC,}=\frac{S\Delta AMB}{S\Delta AGB}\left(1\right)\)
\(\frac{MB,}{GB,}=\frac{S\Delta AMC}{S\Delta AGC}\left(2\right)\)
DỰNG GH VÀ MD VUÔNG GÓC VỚI BC
AD ĐỊNH LÍ TA LÉT
=>\(\frac{MD}{GH}=\frac{MA,}{GA,}\)
MẶT KHÁC \(\frac{MD}{GH}=\frac{S\Delta BMC}{S\Delta BGC}\)
=> \(\frac{MA,}{GA,}=\frac{S\Delta BMC}{S\Delta BGC}\left(3\right)\)
TỪ 1 ,2,3
=> \(\frac{MA,}{GA,}+\frac{MB,}{GB,}+\frac{MC,}{GC,}=\frac{S\Delta AMB+S\Delta BMC+S\Delta AMC}{\frac{1}{3}S\Delta ABC}=\frac{3SABC}{SABC}=3\)
Các bài trên chỉ được vẽ các đường thẳng song song tạo ra các cặp tam giác tương ứng tỉ lệ thôi nhé. Bạn nào làm được giúp mình nha. Tks mọi người :)
Cho tam giác ABC và M là một điểm tùy ý trong tam giác này. Các đường thẳng AM, BM, CM lần lượt cắt các cạnh BC, AC, AB tại A', B', C'.
Chứng minh rằng tổng \(\frac{AM}{AA'}+\frac{BM}{BB'}+\frac{CM}{CC'}\) bằng hằng số.
Giúp mình !!!!!!!!
1. Tam giác ABC với D,E,F lần lượt thuộc cạnh BC,CA,AB sao cho AD,BE,CF đồng quy tại M. chứng minh \(\frac{DM}{AD}+\frac{FM}{CF}+\frac{EM}{BE}=1\)
2. Tam giác ABC với M tùy ý nằm trong tam giác. Đường thẳng đi qua M và trọng tâm G của tam giác cắt BC,CA,AB lần lượt tại A',B',C'. chứng minh: \(\frac{MA'}{GA'}+\frac{MB'}{GB'}+\frac{MC'}{GC'}=3\)
3. Tam giác nhọn ABC, phân giác AD. M,N lần lượt là hình chiếu của D trên AC,AB, P là giao điểm BM, CN. chứng minh AP vuông góc BC