a/ BN và CN cắt nhau tại I => \(NI=\frac{BI}{2}\) và \(MI=\frac{CI}{2}\)

+ Ta có \(AC=2CN\Rightarrow AC^2=4CN^2\)và \(AB=2BM\Rightarrow AB^2=4BM^2\)

+ Xét tg vuông BIM có \(BM^2=BI^2+MI^2\Rightarrow4BM^2=AB^2=4\left(BI^2+MI^2\right)=4\left(BI^2+\frac{CI^2}{4}\right)\)

+ Xét tg vuông CIN có \(CN^2=CI^2+NI^2\Rightarrow4CN^2=AC^2=4\left(CI^2+NI^2\right)=4\left(CI^2+\frac{BI^2}{4}\right)\)

\(\Rightarrow AB^2+AC^2=4\left[\left(BI^2+CI^2\right)+\frac{BI^2+CI^2}{4}\right]\)

Mà trong tg vuông BIC có \(BC^2=BI^2+CI^2\)

\(\Rightarrow AB^2+AC^2=4\left(BC^2+\frac{BC^2}{4}\right)=5BC^2\)

b/ 

Bài Làm: 

vẽ AH vuông góc với BC 

\(\Rightarrow\cot B=\frac{BH}{AH}\left(\Delta ABH;\widehat{H}=1v\right)\)

\(\Rightarrow\cot C=\frac{HC}{AH}\left(\Delta HCA;\widehat{H}=1v\right)\)

\(\Rightarrow\cot B+\cot C=\frac{BC}{AH}\left(1\right)\)

Gọi G là giao điểm 2 đường trung tuyến BM ; CN

Nếu AG cắt BC tại I thì AI - đường trung tuyến tam giác ABC

Suy ra BI = IC 

suy ra GI - đường trung tuyến tam giác GBC vuông tại G

\(\Rightarrow BC=2GI\left(2\right)\)

\(AH\le AI\le3GI\left(3\right)\)

\(\Rightarrow\cot B+\cot C=\frac{BC}{AH}\ge\frac{2AI}{3AI}=\frac{2}{3}\)

Vậy \(\cot B+\cot C\ge\frac{2}{3}\left(đpcm\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi \(AH\equiv AI\)

\(\Rightarrow\Delta ABC\)cân tại A

có đâu, sáng con ko ăn, đói qá ms ăn, tối thì ko bao j, đói qá lấy sữa ống hoy ^^~~

Cot A>3 

Khi \(\cot x\) là một hàm lồi trên \(\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\), và \(A,B,C\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\), ta có: 

\(\cot A+\cot B+\cot C\ge3\cot\left(\frac{A+B+C}{3}\right)=\sqrt{3}\)

Theo BĐT Jensen ta được ĐPCM 

Cách khác: 

Sử dụng đồng nhất thức ta có:

\(\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C\)

Vì vậy \(\cot A\cot B+\cot B\cot C+\cot C\cot A=1\) 

Và \(\left(\cot A-\cot B\right)^2+\left(\cot B-\cot C\right)^2+\left(\cot C-\cot A\right)^2\ge0\)

Vì vậy \(\cot^2A+\cot^2B+\cot^2C\ge1\)

Vì vậy \(\left(\cot A+\cot B+\cot C\right)^2=\cot^2A+\cot^2B+\cot^2C+2\left(\cot A\cot B+\cot B\cot C+\cot C\cot A\right)\ge3\)

Vậy \(\cot A+\cot B+\cot C\ge\sqrt{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\cot A=\cot B=\cot C\) (Cách này ko chắc 100% đúng)