\(\frac{x^2-yz}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{y^2-xz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}+\frac{z^2-xy}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}\)

\(=\frac{\left(x^2-yz\right).\left(y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)}+\frac{\left(y^2-xz\right).\left(x+z\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}+\frac{\left(z^2-xy\right).\left(x+y\right)}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)\left(x+y\right)}\)

\(=\frac{x^2y-y^2z+x^2z-yz^2+y^2x-x^2z+zy^2-xz^2+z^2x-x^2y+yz^2-xy^2}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)}\)

\(=\frac{0}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)}\)

\(=0\)\(\left(\text{Đ}K:x+y,y+z,z+x\ne0\right)\)

Tham khảo nhé~

Gọi cái biểu thức đó là P nha

Trước tiên chứng minh:

\(\frac{x^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{y^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{z^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}-\left(\frac{y^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{z^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{x^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^4-y^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{y^4-z^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{z^4-x^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\)

\(\Leftrightarrow x-y+y-z+z-x=0\)( đúng )

Giờ ta quay lại bài toán ban đầu 

Ta có:

\(\Leftrightarrow2P=\frac{x^4+y^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{y^4+z^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{z^4+x^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\)

\(\ge\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{2\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{\left(y^2+z^2\right)^2}{2\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{\left(z^2+x^2\right)^2}{2\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\)

\(=\frac{x^2+y^2}{2\left(x+y\right)}+\frac{y^2+z^2}{2\left(y+z\right)}+\frac{z^2+x^2}{2\left(z+x\right)}\)

\(\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{4\left(x+y\right)}+\frac{\left(y+z\right)^2}{4\left(y+z\right)}+\frac{\left(z+x\right)^2}{4\left(z+x\right)}\)

\(=\frac{x+y}{4}+\frac{y+z}{4}+\frac{z+x}{4}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{1}{4}\)

Động não tí đi Quỳnh, a thấy bài này cũng không khó.

Bài dễ mừ, có phải Croatia thật ko vậy :))  (viết đề bị nhầm, là x,y,z dương chứ :))

Áp dụng Cauchy-Schwarz dạng cộng mẫu số:

\(\frac{x^2}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{y^2}{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}+\frac{z^2}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\ge\)

\(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)+\left(y+z\right)\left(y+x\right)+\left(z+x\right)\left(z+y\right)}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+3\left(xy+yz+zx\right)}\)

\(=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+\left(xy+yz+zx\right)}\)

Xét \(xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\Rightarrow\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}\)

\(=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\frac{4}{3}\left(x+y+z\right)^2}=\frac{3}{4}\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=y=z,  Xong! :))

Hầy mình không nghĩ lớp 7 đã phải làm những bài biến đổi như thế này. Cái này phù hợp với lớp 8-9 hơn.

1.

Đặt $x^2-y^2=a; y^2-z^2=b; z^2-x^2=c$. 

Khi đó: $a+b+c=0\Rightarrow a+b=-c$

$\text{VT}=a^3+b^3+c^3=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3$

$=(-c)^3-3ab(-c)+c^3=3abc$

$=3(x^2-y^2)(y^2-z^2)(z^2-x^2)$

$=3(x-y)(x+y)(y-z)(y+z)(z-x)(z+x)$

$=3(x-y)(y-z)(z-x)(x+y)(y+z)(x+z)$

$=3.4(x-y)(y-z)(z-x)=12(x-y)(y-z)(z-x)$

Ta có đpcm.

Bài 2:

Áp dụng kết quả của bài 1:

Mẫu:

$(x^2-y^2)^3+(y^2-z^2)^3+(z^2-x^2)^3=3(x-y)(y-z)(z-x)(x+y)(y+z)(z+x)=3(x-y)(y-z)(z-x)(1)$

Tử: 

Đặt $x-y=a; y-z=b; z-x=c$ thì $a+b+c=0$

$(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3=a^3+b^3+c^3$

$=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3=(-c)^3-3ab(-c)+c^3=3abc$

$=3(x-y)(y-z)(z-x)(2)$

Từ $(1);(2)$ suy ra \(\frac{(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3}{(x^2-y^2)^3+(y^2-z^2)^3+(z^2-x^2)^3}=1\)

Bài 3:

\(ab+bc+ac=\frac{(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)}{2}=\frac{2^2-2}{2}=1\)

Do đó:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{ab+bc+ac}{abc}=\frac{1}{abc}\)

Ta có đpcm.