C/m dạng tổng quát \(\frac{a^{n+1}}{b+c-a}+\frac{b^{n+1}}{c+a-b}+\frac{c^{n+1}}{a+b-c}\ge a^n+b^n+c^n\left(n\ge1\right)\)

Không mất tính tổng quát giả sử \(a\ge b\ge c>0\)

Suy ra \(\frac{a}{b+c-a}\ge\frac{b}{c+a-b}\ge\frac{c}{a+b-c}\)

Áp dụng BĐT Chebyshev ta có: 

\(Σ\frac{a^{n+1}}{b+c-a}=Σa^n\cdot\frac{a}{b+c-a}\ge\frac{1}{3}Σa^n\cdotΣ\frac{a}{b+c-a}\geΣa^n\)

Ko làm mất tính tổng quát, giả sử a >= b >= c.

Ta có: \(\frac{a^{2016}}{b+c-a}\) + \(\frac{b^{2016}}{c+a-b}\) + \(\frac{c^{2016}}{a+b-c}\)- ( a²⁰¹⁵ + b²⁰¹⁵ + c²⁰¹⁵ )                      \(\left(1\right)\)

= \(\left(\frac{a^{2016}}{b+c-a}-a^{2015}\right)\)+ \(\left(\frac{b^{2016}}{c+a-b}-b^{2015}\right)\)+ \(\left(\frac{c^{2016}}{a+b-c}-c^{2015}\right)\)

= \(\frac{2a^{2016}-a^{2015}\left(b+c\right)}{b+c-a}\)+ \(\frac{2b^{2016}-b^{2015}\left(a+c\right)}{c+a-b}\)+ \(\frac{2c^{2016}-c^{2015}\left(a+b\right)}{a+b-c}\)

= \(\frac{a^{2015}\left(2a-b-c\right)}{b+c-a}\)+ \(\frac{b^{2015}\left(2b-a-c\right)}{c+a-b}\)+ \(\frac{c^{2015}\left(2c-a-b\right)}{a+b-c}\)

- Theo bđt tam giác và điều giả sử, cm được biểu thức vừa thu được >= 0 và dấu = xra <=> a = b = c.

Do đó, (1) lớn hơn = 0 => ta có đpcm.

Vậy..........

- Tớ ko nghĩ bài làm của tớ đúng đâu. Nếu sai mong bạn thông cảm!

\(\frac{a+2015}{a-2015}=\frac{b+2016}{b-2016}\Rightarrow\)\(\frac{a+2015}{a-2015}-1=\frac{b+2016}{b-2016}-1\)

\(\frac{a+2015-a+2015}{a-2015}=\frac{b+2016-b+2016}{b-2016}\Rightarrow\)\(\frac{2015}{a-2015}=\frac{2016}{b-2016}\Rightarrow\)

2015(b-2016) =2016(a-2015) =>2015b =2016a =>\(\frac{a}{b}=\frac{2015}{2016}\)

ta có : \(\frac{a+2016}{a-2016}=\frac{b+2015}{b-2015}\)

=> \(\frac{a+2016}{b+2015}=\frac{a-2016}{b-2015}\)

=> Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{a+2016}{b+2015}=\frac{a-2016}{b-2015}=\frac{a+2016+a-2016}{b+2015+b-2015}=\frac{2a}{2b}=\frac{a}{b}\)

=> \(\frac{a+2016}{b+2015}=\frac{a}{b}\)

=> b(a+2016)=a(b+2015)

=>ba+b.2016= ab+a.2015

=>b.2016=a.2015 ( Rút gọn 2 vế với ab)

=>\(\frac{b}{2015}=\frac{a}{2016}\left(đpcm\right)\)

Nếu: \(\frac{a+2016}{a-2016}\)= \(\frac{b+2015}{b-2015}\)

(a + 2016).(b - 2015) = (b + 2015).(a - 2016)

a.b - 2015.a + 2016.b - 2015.2016 = b.a - 2016.b + 2015.a - 2015.2016

2a.2015 = 2b.2016

a.2015 = b.2016 

Thì: \(\frac{a}{2016}\)= \(\frac{b}{2015}\)

ta có \(\frac{a+2015}{a-2015}=\frac{b+2016}{b-2016}\)

\(\Rightarrow\frac{\left(a+2015\right)-\left(a-2015\right)}{a-2015}=\frac{\left(b+2016\right)-\left(b-2016\right)}{b-2016}\)

\(\Rightarrow\frac{2015.2}{a-2015}=\frac{2016.2}{b-2016}\)

\(\Rightarrow\frac{2015}{a-2015}=\frac{2016}{b-2016}\)

\(\Rightarrow\frac{a-2015}{2015}=\frac{b-2016}{2016}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{2015}-1=\frac{b}{2016}-1\)

Suy ra ĐPCM

Đặt 2015.2016+2016=n

suy ra A=(n+1)/n   và B=(n+2)/(n+1)

Ta có A - B=(n+1)/n -(n+2)/(n+1)=((n+1)²-n(n+2))/n(n+1)=(n²+2n+1-n²-2n)/n(n+1)=1/n(n+1)

Vì A-B lớn hơn 0 nên A>B

thanks