cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Đường thẳng xy đi quả A cắt BC tại M. Gọi D và E lần lượt là chân đường cao của B và C xuống xy. Hãy xác định vị trí của xy để BD + CE đạt GTLN
@Phạm Thành Đông @Đoàn Đức Hà
Cho tam giác ABC, qua A vẽ đường thẳng xy tùy ý. Gọi D, E là chân dường vuông góc vẽ từ B, C xuống xy. Xác định vị trí của xy để BD + CE đạt giá trị nhỏ nhất
Bày này chỉ có đạt giá trị lớn nhất thôi nhé ! Bạn xem lại đề !
Lời giải :
Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC.\) \(\Rightarrow AM\) không đổi.
Kẻ \(KM\perp DE\)
Khi đó tứ giác \(BDEC\) là hình thang. \(\left(BD//KM//EC\right)\)
Xét hình thang \(BDCE\) có : \(M\) là trung điểm của \(BC,\) \(BD//KM//EC\) ( cmt )
\(\Rightarrow K\) là trung điểm của \(DE\)
\(\Rightarrow KM\) là đường trung bình của hình thang \(BDEC\)
\(\Rightarrow BD+EC=2.KM\)
Mặt khác ta có : \(KM\le AM\) nên \(BD+EC\le2AM\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow xy\perp AM\)
Vậy \(BD+CE\) đạt giá trị lớn nhất là \(2AM\) \(\Leftrightarrow xy\perp AM\)
Cho tam giác ABC, qua A vẽ đường thẳng xy tùy ý. Gọi D, E là chân dường
vuông góc vẽ từ B, C xuống xy. Xác định vị trí của xy để BD + CE đạt giá trị nhỏ nhất.
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Qua A vẽ đường thẳng xy không cắt cạnh BC. Gọi D và E thứ tự là hình chiếu của B và C trên xy. Xác định vị trí của xy để BD + CE=BC.
Vì △ABC vuông cân tại A (gt) => AB = AC và ∠ABC = ∠ACB = 45o
Để xy không cắt BC <=> xy // BC <=> DE // BC => ∠ABC = ∠BAD = 45o , ∠ACB = ∠CAE = 45o
Lại có: +) DE // BC (cmt) mà BD ⊥ DE (gt)
=> BC ⊥ BD (từ vuông góc đến song song)
+) DE // BC (cmt) mà CE ⊥ DE (gt)
=> BC ⊥ CE (từ vuông góc đến song song)
Xét △BAD vuông tại D có: ∠BAD + ∠ABD = 90o (tổng 2 góc nhọn trong △ vuông)
=> 45o + ∠ABD = 90o
=> ∠ABD = 45o mà ∠BAD =45o
=> ∠ABD = ∠BAD
=> △ABD vuông cân tại D
=> BD = DA
Xét △CAE vuông tại E có: ∠CAE + ∠ACE = 90o (tổng 2 góc nhọn trong △ vuông)
=>45o + ∠ACE = 90o
=> ∠ACE = 45o mà ∠CAE = 45o
=> ∠CAE = ∠ACE
=> △CAE vuông cân tại E
=> EA = EC
Xét △BCD vuông tại B và △EDC vuông tại E
Có: ∠BDC = ∠DCE (BC // DE)
DC là cạnh chung
=> △BCD = △EDC (ch-gn)
=> BC = DE (2 cạnh tương ứng)
=> BC = DA + AE
=> BD + EC = BC (đpcm)
Cho tam giác ABC. Đường thẳng xy đi qua đỉnh A. gọi M,N là chân đường vuông goc kẻ từ B và C xuống xy. Hãy xác định vị trí của đương thẳng xy để BM + CN đạt lớn nhất.
Gọi D là trung điểm BC. Kẻ MI vuông với xyy tại I.
Vì BM vuông góc xy
CN vuông góc xy
DI vuông góc xy
=> BM // CN // DI
Vì BM // CN
=> BMNC là hình thang
mà D là trung điểm BC, DI // BM // CN
=> I là trung điểm MN
mà D là trung điểm BC
=> DI là đường trung bình của hình thang BMNC.
=> DI = \(\frac{BM+CN}{2}\)
=> BM + CN = 2DI
Có DI < DA ( quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên.
Để BM + CN lớn nhất
thì DI lớn nhất
=> DI trùng AD
=> DA vuông góc với xy
Vậy, nếu xy vuông góc với đường trung tuyến AD của tam giác ABC thì BM + CN lớn nhất.
Sao lại thế được. Xin lỗi nhưng cách giải của bạn hơi mâu thuẫn...
bạn có làm được trường hợp xy cắt BC không? Cảm ơn
Cho tam giác ABC có D là một điểm bất kì trên đường trung tuyến AM. Qua D kẻ đường thẳng xy cắt hai cạnh AB và AC lần lượt tại P và Q. Gọi H,I,K lần lượt là hình chiếu của A,B,C trên xy. Xác định vị trí của điểm D để \(AH=\frac{BI+CK}{2}\)
Cho tam giác ABC, Am là trung tuyến (D thuộc AM). Từ D kẻ đường thẳng xy cắt AB và AC. Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu của A, B, C. Trên xy xác định vị trí của D để AH= (BI+CK)/2
Cho tam giác ABC vuông tại A có M là trung điểm của BC. Có hai đường thẳng di động và vuông góc với nhau tại M cắt các đoạn AB và AC lần lượt tại D và E. Xác định vị trí cuer D và E để diện tích tam giác DME đạt GTNN
Cho tam giác ABC cân tại A. Qua A vẽ xy song song với BC, xy cắt tia phân giác của góc B và góc C lần lượt tại D và E.
a) Chứng minh Ax là tia phân giác ngoài của tam giác ABC tại A
b) Chứng minh A là trung điểm của DE
c) Chứng minh tam giác CED vuông
d) Chứng minh 3 đường thẳng BD, CE, FA đồng quy (biết EB và DC cắt nhau tại F)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn( AB<AC). Vẽ ba đường cao AD,BE và CF cắt nhau tại H
a) C/m: tam giác ADB đồng dạng tam giác CFB và BF*BA=BD*BC
b) C/m: tam giác BFD đồng dạng tam giác BCA
c) Qua A vẽ đường thẳng xy song song BC. Tia DF cắt đường thẳng xy tại M. Gọi I là giao điểm của MC và AD. C/m: EI song song BC