Gọi (n^3+2n ; n^4+3n^2+1) là d => n^3+2n chia hết cho d và n^4+3n^2+1 chia hết cho d. =>n(n^3+2n) chia hết cho d hay n^4+2n^2 chia hết cho d. do đó (n^4+3n^2+1) - (n^4+2n^2) chia hết chod hay n^2 +1 chia hết cho d (1). => (n^2+1)(n^2+1) chia hết cho d hay n^4+2n^2+1 chia hết cho d. => (n^4+3n^2+1) ...

Bài 1 : 

Ta có : 

\(\frac{3n-5}{3-2n}=\frac{3n-5}{-\left(2n-3\right)}\)

Gọi \(ƯCLN\left(3n-5;3-2n\right)=d\)

\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}3n-5⋮d\\-\left(2n-3\right)⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2\left(3n-5\right)⋮d\\-3\left(2n-3\right)⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}6n-10⋮d\\-6n+9⋮d\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow\)\(\left(6n-10\right)+\left(-6n+9\right)⋮d\)

\(\Rightarrow\)\(\left(6n-6n\right)\left(-10+9\right)⋮d\)

\(\Rightarrow\)\(\left(-1\right)⋮d\)

\(\Rightarrow\)\(d\inƯ\left(1\right)\)

Mà \(Ư\left(1\right)=\left\{1;-1\right\}\)

\(\Rightarrow\)\(ƯCLN\left(3n-5;3-2n\right)=\left\{1;-1\right\}\)

Vậy \(\frac{3n-5}{3-2n}\) là phân số tối giản với mọi số nguyên n 

Chúc bạn học tốt ~ 

Gọi \(d=\left(n^3+2n;n^4+3n^2+1\right)\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(n^3+2n\right)⋮d\\\left(n^4+3n^2+1\right)⋮d\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}n\left(n^3+2n\right)=\left(n^4+2n^2\right)⋮d\\\left(n^4+3n^2+1\right)⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(n^4+3n^2+1\right)-\left(n^4+2n^2\right)⋮d\)

\(\Leftrightarrow n^2+1⋮d\Leftrightarrow\left(n^2+1\right)^2⋮d\)

\(\Rightarrow\left(n^2+1\right)^2-\left(n^4+2n^2\right)⋮d\Leftrightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

=> P/s tối giản

Gọi \(d=ƯCLN\left(n^3+2n;n^4+3n^2+1\right);\left(d>0\right)\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}n^3+2n⋮d\left(1\right)\\n^4+3n^2+1⋮d\end{cases}}\)

Từ \(\left(1\right)\): \(\Rightarrow n\left(n^3+2n\right)⋮d\)

\(\Rightarrow n^4+2n^2⋮d\)

\(\Rightarrow\left(n^4+3n^2+1\right)-\left(n^4+2n^2\right)⋮d\)

\(\Rightarrow n^2+1⋮d\)

\(\Rightarrow\left(n^2+1\right)^2⋮d\)

\(\Rightarrow n^4+2n^2+1⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)(do \(n^4+2n^2⋮d\))

Vì \(d>0\)\(\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow\left(n^3+2n;n^4+3n^2+1\right)=1\)

\(\Rightarrow\frac{n^3+2n}{n^4+3n^2+1}\)là phân số tối tối giản với mọi n nguyên

Gọi ước chung lớn nhất của n - 5 và 3n - 14 là d, ta có

3 ( n - 5) - ( 3n - 14)= -1 chia hết cho d

=> d = -1 hoặc 1, do đó n - 5 và 3n - 14  là nguyên tố cùng nhau

vậy n - 5/3n - 14 là phân số tối giản

123456789q

\(=\frac{111112469}{24692469}\)

Bài 1 .

a) Gọi d \(\in\)ƯC ( n + 1 , 2n + 3 ) . Ta có :

2n + 3 - 2( n + 1 ) \(⋮\)cho d

\(\Rightarrow\)1 chia hết cho d => d = + , - 1

b ) Gọi d \(\in\)ƯC ( 2n + 3 , 4n + 8 ) . Ta có :

4n + 8 - 2( 2n + 3 ) \(⋮\)cho d

\(\Rightarrow\)2 chia hết cho d . Do đó d là Ư của số lẻ 2n + 3 nên d = + , - 1

c ) Xét buểu thức 5( 3n + 2 ) - 3( 5n + 3 ).

trog Sách chuyên đề lớp 6 nhé bn , bài này giải ra dài lắm

Gọi d là ƯC(n³+2n;n⁴+3n²+1)

n³+2n chia hết d;n⁴+3n²+1 chia hết d

n(n³+2n) chia hết d ; n⁴+3n²+1 chia hết d

n⁴+2n² chia hết d; n⁴+3n²+1 chia hết d

(n⁴+3n²+1) - (n⁴+2n²) chia hết d

n²+1 chia hết d

n(n²+1) chia hết d

n³+n chia hết d

(n³+2n)-(n³+n) chia hết d

n chia hết d

n² chia hết d

(n²+1)-(n²) chia hết cho d

 1 chia hết d

d=1 

PS tối giản

Gọi d là ước chung của \(n^3+2n\) và \(n^4+3n^2+1\) . ta có :

+) \(n^3+2n⋮d\)

\(\Rightarrow n\left(n^3+2n\right)⋮d\)

\(\Rightarrow n^4+2n^2⋮d\)   (1)

Và  \(n^4+3n^2+1-\left(n^4+2n^2\right)=n^2+1⋮d\)

\(\Rightarrow\left(n^2+1\right)^2=n^4+2n^2+1⋮d\) (2)

Từ (1) và (2)

\(\Rightarrow\left(n^4+2n^2+1\right)-\left(n^4+2n\right)^2⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=\pm1\)

Vậy \(\frac{n^3+2n}{n^4+3n^2+1}\) là phân số tối giản (đpcm)