Đặt tổng là A = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^2002 = 1 + 2 + B 
Kể từ số hạng 2^2 đến 2^2002 có 2001 số hạng mà nhóm ba số hạng liên tiếp ta được một số chia hết cho 7 
Do đó B = 2^2 + 2^3 + 2^4 + ... + 2^2000 + 2^2001 + 2^2002 
= 2^2 (1 + 2 + 2^2) + ... + 2^2000 (1 + 2 + 2^2) 
= 2^2. 7 + 2^5 . 7 + ... + 2^2000. 7 
=> B chia hết cho 7 
Vậy A = 3 + B 
nên A chia 7 dư 3

\(1+2+2^2+...+2^{2002}\) = 1 + 2 + B

Đặt B = \(2^2+2^3+...+2^{2002}\)

\(=2^2\left(1+2+2^2\right)...+2^{2000}\left(1+2+2^2\right)\)

\(=2^2.7+...+2^{2000}.7\)

\(=7\left(2^2+...+2^{2000}\right)⋮7\)

=> B + 1 + 2 = B + 3

Vì B chia hết cho 7 mà 3 chia 7 dư 3

Vậy A chia 7 dư 3

A = 1 + 2 + 2^2 + .....................+ 2^2001 + 2^2002

   = 1 + 2 + ( 2² + 2³ + 2⁴ ) + ...... + ( 2²⁰⁰⁰ + 2²⁰⁰¹ + 2²⁰⁰² )

   =  3 +  2² . ( 1 + 2 + 4 ) + ..... + 2²⁰⁰⁰ . ( 1 + 2 + 4 )

   =  3 + ( 2² + ... + 2²⁰⁰⁰ ) . 7 chia 7 dư 3

Vậy A chia 7 dư 3

Đặt tổng là A = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^2002 = 1 + 2 + B 
Kể từ số hạng 2^2 đến 2^2002 có 2001 số hạng mà nhóm ba số hạng liên tiếp ta được một số chia hết cho 7 
Do đó B = 2^2 + 2^3 + 2^4 + ... + 2^2000 + 2^2001 + 2^2002 
= 2^2 (1 + 2 + 2^2) + ... + 2^2000 (1 + 2 + 2^2) 
= 2^2. 7 + 2^5 . 7 + ... + 2^2000. 7 
=> B chia hết cho 7 
Vậy A = 3 + B 
nên A chia 7 dư 3

thấy: 2^k + 2^(k+1) + 2^(k+2) = (1+2+4).2^k = 7.2^k chia hết cho 7 

lại thấy trong A có 2003 số hạng, ta bỏ ra 2 số hạng đầu, còn lại 2001 số hạng: chia hết cho 3 

A = 1+2 + (2^2+2^3+2^4) + (2^5+2^6+2^7) +..+ (2^2000+2^2001+2^2002) 
A = 3 + 7.2^2 + 7.2^5 +..+ 7.2^2000 
=> A chia 7 dư 3

A chia 7 dư 3

A= 1+2+2^2+...+2^2001+2^2002

A= (1+2+2^2)+(2^3+2^4+2^5)+...+(2^2010+2^2001+2^2002)

A=7+2^3*(1+2+2^2)+...+2^2010*(1+2+2^2)

A=7*(1+2^3+...+2^2010) chia hết cho 7

A = 1 + 2 + ( 2² + 2³ + 2⁴ ) + .... + ( 2²⁰⁰⁰ + 2²⁰⁰¹ + 2²⁰⁰² ) 

   = 3 + 2² ( 1 + 2 + 4 ) + .... + 2²⁰⁰⁰( 1 + 2 + 4 ) 

= 3 + ( 2² + .... + 2²⁰⁰⁰) 7 chia 7 dư 3 

Vậy A chia 7 dư 3
 

\(A=1+2+2^2+....+2^{2002}\)

\(\Rightarrow A=2A-A=1-2^{2003}\)

\(\Rightarrow A:7=1-2^{2003}:7\)dư 7 

Tổng A có 2003 số hạng. Nhóm 3 số vào một nhóm ta được 667 nhóm và thừa 2 số hạng

=> A = 1+2+(2²+2³+2⁴)+(2⁵+2⁶+2⁷)+.....+(2²⁰⁰⁰+2²⁰⁰¹+2²⁰⁰²)

=> A = 3+2²(1+2+2²)+2⁵(1+2+2²)+.....+2²⁰⁰⁰(1+2+2²)

=> A = 3+2².7+2⁵.7+.....+2²⁰⁰⁰.7

=> A = 3+7.(2²+2⁵+.....+2²⁰⁰⁰)

Vì 7.(2²+2⁵+.....+2²⁰⁰⁰) chia hết cho 7

Mà 3 chia 7 dư 3

=> 3+7.(2²+2⁵+.....+2²⁰⁰⁰) chia 7 dư 3

=> A chia 7 dư 3