p = 2 lấy n chẳn; p > 2 lấy n = (pk – 1)(p – 1),   

Với n= 3 ,  ,chọn x₃ =y₃ =1

Giả sử với n \(\ge\)3 , tồn tại cặp số nguyên dương lẻ ( x_n ,y_n ) sao cho 7.x_n² + y²_n= 2ⁿ.Ta chứng minh mỗi cặp 

\(\left(X=\frac{x_n+y_n}{2},Y=\frac{\left|7.x_n-y_n\right|}{2}\right)\),

\(\left(X=\frac{\left|x_n-y_n\right|}{2},Y=\frac{7.x_n\pm y_n}{2}\right)^2=2.\left(7.x_n^2+7_n^2\right)=2.2^n=2^{n+1}\)

Vì x_n,y_n lẻ nên x_n = 2a+1 ; y_n = 2k + 1 ( a,k \(\inℤ\)) 

\(\Rightarrow\frac{x_n+y_n}{2}=k+1+1\)và \(\frac{\left|x_n-y_n\right|}{2}=\left|k-1\right|.\)

Điều đó chứng tỏ rằng một trong các số \(\frac{x_n+y_n}{2}.\frac{\left|x_n+y_n\right|}{2}\)là lẻ .Vì vậy với n + 1 tồn tại các số tự nhiên lẻ x_n+1 và y_n+1 thỏa mãn 7.x²_n+1 + y²_n+1 =2ⁿ⁺¹=> đpcm 

5676538564875x787866688089=bao nhieu mn oi

lớp mấy thế mà khó v tui lớp 5

Để tìm tất cả các số nguyên dương k thỏa mãn điều kiện đã cho, ta sẽ giải phương trình theo n.

2n + 11 chia hết cho 2k - 1 có nghĩa là tồn tại một số nguyên dương m sao cho:
2n + 11 = (2k - 1)m

Chuyển biểu thức trên về dạng phương trình tuyến tính:
2n - (2k - 1)m = -11

Ta nhận thấy rằng nếu ta chọn một số nguyên dương nào đó, ta có thể tìm được một số nguyên dương k tương ứng để phương trình trên có nghiệm. Do đó, ta chỉ cần tìm tất cả các số nguyên dương n thỏa mãn phương trình trên.

Để giải phương trình này, ta có thể sử dụng thuật toán Euclid mở rộng (Extended Euclidean Algorithm). Tuy nhiên, trong trường hợp này, ta có thể tìm được một số giá trị n và k thỏa mãn phương trình bằng cách thử từng giá trị của n và tính giá trị tương ứng của k.

Dưới đây là một số cặp giá trị n và k thỏa mãn phương trình đã cho:
(n, k) = (3, 2), (7, 3), (11, 4), (15, 5), (19, 6), …

Từ đó, ta có thể thấy rằng có vô số giá trị n và k thỏa mãn phương trình đã cho.

Xét bộ gồm 2016 số: \(2^1;2^2;...;2^{2016}\)

Do 2017 nguyên tố đồng thời \(2^k\) là lũy thừa của 1 số nguyên tố khác 2017 nên \(2^k\) ko chia hết 2017 với mọi k 

Do đó tất cả các số trong bộ số nói trên đều ko chia hết 2017

- Nếu các số trong dãy trên chia 2017 có số dư đôi một khác nhau \(\Rightarrow\) có 2016 số dư \(\Rightarrow\) có đúng 1 số chia 2017 dư 1, giả sử đó là \(2^n\) thì \(2^n-1⋮2017\)

- Nếu tồn tại 2 số trong 2016 số trên có cùng số dư khi chia 2017 là \(2^i\) và \(2^j\) với \(1\le i< j\le2016\Rightarrow1\le j-i< 2016\)

\(\Rightarrow2^j-2^i⋮2017\)

\(\Rightarrow2^i\left(2^{j-i}-1\right)⋮2017\)

\(\Rightarrow2^{j-i}-1⋮2017\) (do \(2^i\) ko chia hết 2017)

\(\Rightarrow n=j-i\) thỏa mãn yêu cầu