\(1-\frac{a}{a+1}=\frac{1}{1+a}=\frac{c}{c+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{d}{d+1}\Rightarrow\frac{1}{a+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{bcd}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}}\)

cmtt rồi nhân 3 cái lại vs nhau => đpcm

áp dụng bất đẳng thức Cauchy-schwaz

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\ge\frac{\left(1+1+1+1\right)^2}{a+b+c+d}\)=\(\frac{16}{a+b+c+d}\)(đpcm)

dễmaf

thay c=c.1=c(a+b+c)

=> ab+c=(c+a)(c+b)

lm tt cuối cùng sẽ ra

tham khảo thui nhé, chưa tìm đc lời giải phù hợp :'< 

+) Với 3 số a,b,c đều lớn nhất ( a=b=c ) 

\(\Rightarrow\)\(H=\frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}=\frac{3}{\frac{3}{a}}=a\)\(\Rightarrow\)\(a=H\) (1) 

+) Không mất tính tổng quát, với a và b là số lớn nhất ( a=b>c ) 

\(\Rightarrow\)\(H=\frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}=\frac{3}{\frac{2}{a}+\frac{1}{c}}< \frac{3}{\frac{3}{a}}=a\)\(\Rightarrow\)\(a>H\) (2) 

+) Không mất tính tổng quát, với a là số lớn nhất ( a>b, a>c ) 

\(\Rightarrow\)\(H=\frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}< \frac{3}{\frac{3}{a}}=a\)\(\Rightarrow\)\(a>H\) (3) 

(1), (2) và (3) \(\Rightarrow\)\(a\ge H\) với a là số lớn nhất hoặc 1 trong các số lớn nhất ( tương tự với b và c ) 

A=\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}+\left(\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{d+a}+\frac{a}{a+b}\right)\)\(\ge4\)

B=\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}+\left(\frac{c}{b+c}+\frac{d}{c+b}+\frac{a}{d+a}+\frac{b}{a+b}\right)\)\(\ge4\)

A+B=2M+2\(\ge\)8 (M là biểu thức cần chứng minh)

M\(\ge\)2 <=>a=b=c=d

Ta có 

           \(\frac{a}{b+c}\ge\frac{a+a+d}{a+b+c+d}\)

           \(\frac{b}{c+d}\ge\frac{b+b+a}{a+b+c+d}\)

           \(\frac{c}{d+a}\ge\frac{c+c+b}{a+b+c+d}\)

           \(\frac{d}{a+b}\ge\frac{d+d+c}{a+b+c+d}\)

=> \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\)>  \(\frac{a+a+d+b+b+a+c+c+b+d+d+c}{a+b+c+d}\)=\(\frac{2a+2b+2c+2d}{a+b+c+d}\)= 2

Chúc bạn học tốt!

phân số bé hơn 1 ,khi công  vào tử và mâu cùng một số thì được phân sô lớn hơn phân số ban đâu .Còn phân sô lớn hơn một thì ngược

lại Bạn chú y nha.

Đề sai rồi

Nếu giả sử a = b =c = d = 2 thì

\(\frac{2}{2+1}+\frac{2}{2+1}+\frac{2}{2+1}+\frac{2}{2+1}=\frac{8}{3}>2\)

Áp dụng bđt Cosi ta có: \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}\ge2;\frac{b^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge2;\frac{c^2}{c+d}+\frac{c+d}{4}\ge2\)\(;\frac{d^2}{d+a}+\frac{d+a}{4}\ge2\)

Cộng theo vế và a+b+c+d=1 ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}\frac{a^2}{a+b}=\frac{a+b}{4};\frac{b^2}{b+c}=\frac{b+c}{4};\frac{c^2}{c+d}=\frac{c+d}{4};\frac{d^2}{d+a}=\frac{d+a}{4}\\\\a=b=c=1\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow a=b=c=d=\frac{1}{4}\)

Bunyakovsky dạng phân thức

Theo bất đẳng thức Svacxo :

\(VT\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{2\left(a+b+c+d\right)}=\frac{1}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=d=\frac{1}{4}\)

Vậy ta có điều phải chứng minh

Áp dụng BĐT Cauchy -Schwarz dạng cộng mẫu thôi:

\(\text{VT}=\frac{1^2}{a}+\frac{1^2}{b}+\frac{2^2}{c}+\frac{4^2}{d}\geq \frac{(1+1+2+4)^2}{a+b+c+d}=\frac{64}{a+b+c+d}=\text{VP}\)

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=\frac{c}{2}=\frac{d}{4}>0\)

áp dụng BĐT cauchy-schwazs:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}+\frac{16}{d}\ge\frac{\left(1+1+2+4\right)^2}{a+b+c+d}=\frac{64}{a+b+c+d}\)

dấu = xảy ra khi \(\frac{1}{a}=\frac{1}{b}=\frac{2}{c}=\frac{4}{d}\Leftrightarrow a=b=\frac{c}{2}=\frac{d}{4}\)