Kẻ NF // AB (F thuộc BC)

Xét tam giác BEF và tam giác NFE có:

BEF = NFE (2 góc so le trong, NF // BE)

FE chung

EFB = FEN (2 góc so le trong, EN // FB)

=> Tam giác BEF = Tam giác NFE (g.c.g)

=> BE = NF (2 cạnh tương ứng)

mà BE = AD (gt)

=> AD = NF

Xét tam giác ADM và tam giác NFC có:

MDA = CFN (2 góc đồng vị, DM // FC)

DA = FN (chứng minh trên)

DAM = FNC (2 góc đồng vị, AD // NF)

=> Tam giác ADM = Tam giác NFC (g.c.g)

=> DM = FC (2 cạnh tương ứng)

mà EN = BF (tam giác BEF = tam giác NFE)

=> DM + EN = BF + FC = BC

qua N kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC tại K .

Vì EN song song với BK; NK song song với EB nên EB=NK;EN=BK (tính chất đoạn chắn)

nên NK=AD. Vì DM song song với BC nên góc( từ sau góc mình kí hiệu là >) DMA = >ACB . Vì NK song song với AB nên >A= >KNC \(\Rightarrow\) >B=>NKC Do đó ΔADM=ΔNKC (g.c.g). nên DM=KC

Suy ra DM+EN=BK+CK=BC(dpcm)

qua M kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC tại I

Nối EC  ; DI 

xét tam giác BDI và tam giác NID có :

\(DI\) là cạnh chung

\(\widehat{DBI}=\widehat{DIN}\) (vì IN // AB)

\(\widehat{BID}=\widehat{IDN}\) ( DM // BC)

\(\Rightarrow BI=DN\) (2 cạnh tương ứng ) ( 1)

xét \(\Delta ADN\)   và \(\Delta EBI\)    CÓ:

AD=BE  ( gt)

góc ADN = goác EBI ( DM//BC ; E,D thuộc AB )

BI=DN ( cmt )

\(\Rightarrow\widehat{BEI}=\widehat{DAN}\) (2 góc tương ứng )

hay \(\widehat{BEI}=\widehat{EAC}\) ( vì \(D,E\in AB;N\in AC\) )

mà \(\widehat{BEI}\)  và \(\widehat{EAC}\)  là 2 góc đồng vị

\(\Rightarrow EI\) // \(AC\)

 xét \(\Delta EIC\)  và \(\Delta CNI\) có :

\(\widehat{IEC}=\widehat{ECN}\) ( vì  EI//AC)

EC chung 

\(\widehat{ICF}=\widehat{CEN}\) ( vì EN // BC)

\(\Rightarrow\Delta EIC=\Delta CNI\) ( g.c.g)

\(\Rightarrow EN=IC\) ( 2 cạnh tương ứng ) ( 2)

từ (1 ) và (2) => DM+EN=IB+IC

=> DM+EN=BC ( I nằm giữa A và B ) (ĐPCM )