trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA 

xét  \(\Delta AMB\)và \(\Delta DMC\)có :

MB = MC ( gt )

\(\widehat{M_1}=\widehat{M_2}\)( hai góc đối đỉnh )

MA = MD ( do cách vẽ )

Suy ra : \(\Delta AMB\)= \(\Delta DMC\)( c.g.c )

Suy ra : AB = AC và \(\widehat{A_1}=\widehat{D}\) \(\Rightarrow\)AB // CD ( vì có cặp góc sole trong bằng nhau )

vì \(AC\perp AB\)( gt ) nên AC \(\perp\)CD ( quan hệ giữa tính song song và vuông góc )

Xét \(\Delta ABC\)và \(\Delta CDA\)có :

AB = CD ( chứng minh trên )

\(\widehat{A}=\widehat{C}=90^o\)

AC ( chung )

Vậy \(\Delta ABC\)= \(\Delta CDA\)( c.g.c ) suy ra BC = AD

vì \(AM=MD=\frac{AD}{2}\)nên \(AM=\frac{BC}{2}\)

  1/ Phần này đơn giản thôi bạn! Khi chứng minh tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuồn là trung điểm cạnh huyền thì ta chứng minh ngược lại là trung điểm của cạnh huyền trong 1 tam giác vuông là tâm của đường tròn ngoại tiếp. 
Giả sử ta có tam giác ABC vuông tại A và O là trung điểm của cạnh huyền BC 
=> AO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền 
=> OA = OB =OC = 1/2 BC 
=> O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 
Vậy .... 
2/ Giả sử ta có tam giác ABC có BC là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác. 
Gọi O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 
=>OA = OB =OC (*) 
mà BC là đường kính của đường tròn ngoại tiếp 
=> O là trung điểm BC 
=> OB = OC = 1/2 BC(**) 
từ (*) và (**) => OA = OB = OC = 1/2 BC 
=> tam giác ABC vuông tại A 

@Nhoc_sieu_pham đây là toán lớp 7 mà, sao lại giải cách lớp 9 như vậy được?

1> Giả sử đó là tam giác vuông ABC, trung tuyến AM. Trên tia đối MA lấy điểm H sao cho M là trung điểm của AH.

=>MA=MH=1/2AH(*)

\(\Delta AMC=\Delta BMH\left(c.g.c\right)\)

=>\(\widehat{CAM}=\widehat{BHM}\)và AC=BH

Mà hai góc này nằm ở vị trí so le trrong của 2 đường thẳng AC và BH

=> AC // BH

mà AC L AB => BH L AB => \(\widehat{ABH}=90^o\)

Xét \(\Delta ABC\)và\(\Delta BAH\)có

AC=BC

\(\widehat{BAC}=\widehat{ABH}=90^o\)

cạnh chung AB

=> \(\Delta ABC=\Delta BAH\left(c.g.c\right)\)

=> BC=AH(**)

Lại có MB=MC=1/2BC(***)

Từ (*),(**),(***)=> MA=MB=MC=1/2BC (đpcm)

Giả sử tam giác ABC có trung tuyến AM thoả AM=MB=MC. Khi đó gọi K là điểm trên AM sao cho AM = MK. Dễ dàng nhận thấy ABKC là hình chữ nhật => góc BAC=90 -> tam giác vuông

(GT,KL tự ghi nhé!)

Vẽ đoạn thẳng AK sao cho \(AH=\frac{AK}{2}\) (1)

Xét tam giác AHB và tam giác KHC có :

AH = AK (Cách vẽ)

AHB = KHC ( 2 góc đối đỉnh )

BH = HC (GT)

\(\Rightarrow\) tam giác AHB = tam giác KHC ( c.g.c)

\(\Rightarrow\) BAH = CKH ( 2 góc tương ứng )

\(\Rightarrow\) AB song song với CK ( cặp góc so le trong bằng nhau)

   Mà AB vuông góc với AC (GT)

\(\Rightarrow\) CK vuông góc với AC

Xét tam giác ABC và tam giác CKA có :

   AB = CK (Do tam giác AHB = tam giác KHC)

   BAC = KCA = 90 độ

  AC chung

\(\Rightarrow\) tam giác ABC = tam giác CKA ( c.g.c )

\(\Rightarrow\) BC = KA (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\) \(AH=\frac{BC}{2}\)

de et qua thang khung moi khong biet

https://hoc247.net/hoi-dap/toan-7/chung-minh-dinh-ly-trong-1-tam-giac-vuong-duong-trung-tuyen-ung-voi-canh-huyen-bang-nua-canh-huyen-faq195049.html

Tham khảo nha bạn chứ mk ko biết cách chứng minh dùng đường trung bình

đây là hình ạ