\(P=\frac{1}{a^2+a+1}\) ( với a khác 1 ) 

=> \(\frac{1}{P}=a^2+a+1=a^2+2.a.\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2+1\)

\(=\left(a+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3.}{4}\ge\frac{3}{4}\) vì \(\left(a+\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall a\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(\left(a+\frac{1}{2}\right)^2=0\Leftrightarrow a=-\frac{1}{2}\)( thỏa mãn )

Vậy GTNN của \(\frac{1}{P}=\frac{3}{4}\)đạt tại  a = - 1/2.

Bài 1 : Điều kiện xác định : \(x\ne\pm1\)

\(K=\left(\frac{x+1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}-\frac{x-1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\right).\frac{x^2-1}{x^2}\)

\(K=\frac{2}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}.\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{x^2}=\frac{2}{x^2}\)

Nhận thấy giá trị của x càng tăng thì giá trị của M càng giảm

mặt khác , giá trị của x lại không giảm quá 0 nên ta không thể nào xác định được giá trị lớn nhất của K 

a) \(ĐK:a\ne1;a\ne0\)

\(A=\left[\frac{\left(a-1\right)^2}{3a+\left(a-1\right)^2}-\frac{1-2a^2+4a}{a^3-1}+\frac{1}{a-1}\right]:\frac{a^3+4a}{4a^2}=\left[\frac{a^2-2a+1}{a^2+a+1}-\frac{1-2a^2+4a}{a^3-1}+\frac{a^2+a+1}{a^3-1}\right].\frac{4a^2}{a^3+4a}\)\(=\left[\frac{a^3-3a^2+3a-1}{a^3-1}-\frac{1-2a^2+4a}{a^3-1}+\frac{a^2+a+1}{a^3-1}\right].\frac{4a^2}{a^3+4a}=\frac{a^3-1}{a^3-1}.\frac{4a}{a^2+4}=\frac{4a}{a^2+4}\)

b) Ta có: \(a^2+4\ge4a\)(*)

Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\left(a-2\right)^2\ge0\)

Khi đó \(\frac{4a}{a^2+4}\le1\)

Vậy Max_A = 1 khi x = 2

•๖ۣۜIηεqυαℓĭтĭεʂ•ッᶦᵈᵒᶫ★T&T★ Idol cho em hỏi là, cái chỗ \(\left(a-2\right)^2\ge0\) thì tại sao Khi đó: \(\frac{4a}{a^2+4}\le1\)

Mong Idol pro giải thích hộ em chỗ này :((

À dạ thôi oke, em hiểu rồi((: 

a) ĐKXĐ \(\hept{\begin{cases}x-1\ne0\\x+1\ne0\\x\ne0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x\ne1\\x\ne-1\\x\ne0\end{cases}}\)

b)\(\left(\frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}+\frac{x^2-4x-1}{x^2-1}\right)\frac{x+2003}{x}\)

\(=\frac{\left(x+1\right)^2-\left(x-1\right)^2+x^2-4x-1}{\left(x-1\right).\left(x+1\right)}.\frac{x+2003}{x}\)

\(\frac{\left(x+1-x+1\right)\left(x+1+x-1\right)+x^2-4x-1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}.\frac{x+2003}{x}\)

\(\frac{4x+x^2-4x-1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}.\frac{x+2003}{x}\)

\(=\frac{x^2-1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}.\frac{x+2003}{x}=\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}.\frac{x+2003}{x}\)

\(=\frac{x+2003}{x}\)

c) Ta có \(K=\frac{x+2003}{x}\)

Để K nguyên thì x + 2003 ⋮ x

Ta có x ⋮ x => 2003 ⋮ x

=> x thuộc Ư(2003) = { 1; -1; 2003; -2003 }

Vậy khi x thuộc { 1; -1; 2003; -2003 } thì K nguyên

a) \(a\ne0;a\ne1\)

\(\Leftrightarrow M=\left[\frac{\left(a-1\right)^2}{3a+\left(a-1\right)^2}-\frac{1-2a^2+4a}{a^3-1}+\frac{1}{a-1}\right]:\frac{a^3+4a}{4a^2}\)

\(=\left[\frac{\left(a-1\right)^2}{a^2+a+1}-\frac{1-2a^2+4a}{\left(a-1\right)\left(a^2+a+1\right)}+\frac{1}{a-1}\right]\cdot\frac{4a^2}{a\left(a^2+4\right)}\)

\(=\frac{\left(a-1\right)^3-1+2a^2-4a+a^2+a+1}{\left(a-1\right)\left(a^2+a+1\right)}\cdot\frac{4a}{a^2+4}\)

\(=\frac{a^3-1}{a^3-1}\cdot\frac{4a}{a^2+4}=\frac{4a}{a^2+4}\)

Vậy \(M=\frac{4a}{a^2+4}\left(a\ne0;a\ne1\right)\)

b) \(M=\frac{4a}{a^2+4}\left(a\ne0;a\ne1\right)\)

M>0 khi 4a>0 => a>0

Kết hợp với ĐKXĐ

Vậy M>0 khi a>0 và a\(\ne\)1

c) \(M=\frac{4a}{a^2+4}\left(a\ne0;a\ne1\right)\)

\(M=\frac{4a}{a^2+4}=\frac{\left(a^2+4\right)-\left(a^2-4a+4\right)}{a^2+4}=1-\frac{\left(a-2\right)^2}{a^2+4}\)

Vì \(\frac{\left(a-2\right)^2}{a^2+4}\ge0\forall a\)nên \(1-\frac{\left(a-2\right)^2}{a^2+4}\le1\forall a\)

Dấu "=" <=> \(\frac{\left(a-2\right)^2}{a^2+4}=0\)\(\Leftrightarrow a=2\)

Vậy \(Max_M=1\)khi a=2

mik thắc mắc tại sao 3a lại mất vậy

a)ĐKXĐ:

\(x-1\ne0;x+1\ne0;x\ne0\)

\(\Leftrightarrow x\ne1;x\ne-1;x\ne0\)

b)\(K=\left(\frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}+\frac{x^2-4x-1}{x^2-1}\right).\frac{x+2003}{x}\)

\(=\left(\frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}+\frac{x^2-4x-1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\right).\frac{x+2003}{x}\)

\(=\left(\frac{\left(x+1\right)^2}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}-\frac{\left(x-1\right)^2}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}+\frac{x^2-4x-1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\right).\frac{x+2003}{x}\)

\(=\frac{x^2+2x+1+x^2-2x+1+x^2-4x-1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}.\frac{x+2003}{x}\)

\(=\frac{3x^2-4x+1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}.\frac{x+2003}{x}\)

\(=\frac{3x^2-3x-x+1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}.\frac{x+2003}{x}\)

\(=\frac{3x.\left(x-1\right)-\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}.\frac{x+2003}{x}\)

\(=\frac{\left(x-1\right)\left(3x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}.\frac{x+2003}{x}\)

\(=\frac{\left(3x-1\right)\left(x+2003\right)}{\left(x+1\right).x}\)

\(=\frac{3x^2+6008x-2003}{x^2+x}\)

câu c bí

a) \(ĐKXĐ:\hept{\begin{cases}a\ne1\\a\ne0\end{cases}}\)

\(M=\left(\frac{\left(a-1\right)^2}{3a+\left(a-1\right)^2}-\frac{1-2a^2+4a}{a^3-1}+\frac{1}{a-1}\right)\div\frac{a^3+4a}{4a^2}\)

\(\Leftrightarrow M=\left(\frac{\left(a-1\right)^2}{a^2+a+1}-\frac{1-2a^2+4a}{\left(a-1\right)\left(a^2+a+1\right)}+\frac{1}{a-1}\right):\frac{a^2+4}{4a}\)

\(\Leftrightarrow M=\frac{\left(a-1\right)^3-1+2a^2-4a+a^2+a+1}{\left(a-1\right)\left(a^2+a+1\right)}\cdot\frac{4a}{a^2+4}\)

\(\Leftrightarrow M=\frac{a^3-3a^2+3a-1-1+2a^2-4a+a^2+a+1}{\left(a-1\right)\left(a^2+a+1\right)}\cdot\frac{4a}{a^2+4}\)

\(\Leftrightarrow M=\frac{a^3-1}{\left(a-1\right)\left(a^2+a+1\right)}\cdot\frac{4a^2}{a^2+4}\)

\(\Leftrightarrow M=\frac{4a^2}{a^2+4}\)

b) Ta có : \(\frac{4a^2}{a^2+4}=\frac{4\left(a^2+4\right)-16}{a^2+4}\)

\(=4-\frac{16}{a^2+4}\)

Để M đạt giá trị lớn nhất 

\(\Leftrightarrow\frac{16}{a^2+4}\)min

\(\Leftrightarrow a^2+4\)max

\(\Leftrightarrow a\)max

Vậy để M đạt giá trị lớn nhất thì a phải đạ giá trị lớn nhất.