nhân S cho 2 rồi khử căn ở mẫu

CẬU GIẢI RÕ CHO MÌNH VS

Viết ngược lại đề bài nha  rồi trục căn thức

\(2S=\sqrt{2013}-\sqrt{2011}+\sqrt{2011}-\sqrt{2009}+....+\sqrt{7}-\sqrt{5}+\sqrt{5}-\sqrt{3}\)

\(S=\frac{\sqrt{2013}-\sqrt{3}}{2}\)

......................?

mik ko biết

mong bn thông cảm 

nha ................

Đặt: \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x-2009}=a\\\sqrt{y-2010}=b\\\sqrt{z-2011}=c\end{cases}}\)

Ta có: \(\frac{1}{a}-\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b}-\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c}-\frac{1}{c^2}-\frac{3}{4}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}-\frac{1}{a}+\frac{1}{b^2}-\frac{1}{b}+\frac{1}{c^2}-\frac{1}{c}+\frac{3}{4}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{a^2}-\frac{1}{a}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{b^2}-\frac{1}{b}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{c^2}-\frac{1}{c}+\frac{1}{4}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{b}-\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{c}-\frac{1}{2}\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{2}\)

Thay vào tìm x;y;z

Đặt: \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x-2009}=a\\\sqrt{y-2010}=b\\\sqrt{z-2011}=c\end{cases}}\)

Ta có: \frac{1}{a}-\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b}-\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c}-\frac{1}{c^2}-\frac{3}{4}=0a1​−a21​+b1​−b21​+c1​−c21​−43​=0

\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}-\frac{1}{a}+\frac{1}{b^2}-\frac{1}{b}+\frac{1}{c^2}-\frac{1}{c}+\frac{3}{4}=0⇔a21​−a1​+b21​−b1​+c21​−c1​+43​=0

\Leftrightarrow\left(\frac{1}{a^2}-\frac{1}{a}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{b^2}-\frac{1}{b}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{c^2}-\frac{1}{c}+\frac{1}{4}\right)=0⇔(a21​−a1​+41​)+(b21​−b1​+41​)+(c21​−c1​+41​)=0

\Leftrightarrow\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{b}-\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{c}-\frac{1}{2}\right)^2=0⇔(a1​−21​)2+(b1​−21​)2+(c1​−21​)2=0

\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{2}⇔a=b=c=21​

Thay vào tìm x;y;z

Xét tử số có dạng : \(\frac{1}{\left(2n+1\right)\left(2n+2\right)\left(2n+3\right)}=\frac{1}{4}\left[\frac{1}{\left(2n+1\right)\left(2n+2\right)}-\frac{1}{\left(2n+2\right)\left(2n+3\right)}\right]\) với \(n\in N\)

Ta có : \(\frac{1}{1.3.5}+\frac{1}{3.5.7}+\frac{1}{5.7.9}+...+\frac{1}{2005.2007.2009}\)

\(=\frac{1}{4}.\left(\frac{1}{1.3}-\frac{1}{3.5}\right)+\frac{1}{4}.\left(\frac{1}{3.5}-\frac{1}{5.7}\right)+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{5.7}-\frac{1}{7.9}\right)+...+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2005.2007}-\frac{1}{2007.2009}\right)\)

\(=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{1.3}-\frac{1}{3.5}+\frac{1}{3.5}-\frac{1}{5.7}+\frac{1}{5.7}-\frac{1}{7.9}+...+\frac{1}{2005.2007}-\frac{1}{2007.2009}\right)\)

\(=\frac{1}{4}.\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2007.2009}\right)\)

Xét mẫu số có dạng : \(\frac{1}{\left(2n+1\right)\sqrt{2n+3}+\left(2n+3\right)\sqrt{2n+1}}=\frac{1}{\sqrt{2n+1}.\sqrt{2n+3}\left(\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n+3}\right)}\)

\(=\frac{\sqrt{2n+3}-\sqrt{2n+1}}{\sqrt{2n+1}.\sqrt{2n+3}\left[\left(2n+3\right)-\left(2n+1\right)\right]}=\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{\sqrt{2n+1}}-\frac{1}{\sqrt{2n+3}}\right)\)với  \(n\in N\)

Áp dụng : \(\frac{1}{1\sqrt{3}+3\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{5}+5\sqrt{3}}+\frac{1}{5\sqrt{7}+7\sqrt{5}}+...+\frac{1}{2007\sqrt{2009}+2009\sqrt{2007}}\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}}-\frac{1}{\sqrt{7}}+...+\frac{1}{\sqrt{2007}}-\frac{1}{\sqrt{2009}}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{\sqrt{2009}}\right)\)

Suy ra : \(M=\frac{\frac{1}{4}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2007.2009}\right)}{\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{\sqrt{2009}}\right)}\)

Tới đây bài toán đã gọn hơn , bạn tự tính nhé :)

Thưa bn mk đã làm ra nhưng không biết có đúng không. Xem nhá:

Ta có:

\(\frac{\sqrt{x-2009}-1}{x-2009}+\frac{\sqrt{y-2001}-1}{y-2001}+\frac{\sqrt{z-2011}-1}{z-2011}=\frac{3}{4}\Leftrightarrow"\frac{1}{\sqrt{x-2009}}-\frac{1}{2}"^2+\)

\("\frac{1}{\sqrt{y-2010}}-\frac{1}{2}"^2-"\frac{1}{\sqrt{z-2011}}-\frac{1}{2}"^2=0\)

\(\Rightarrow x=2013;y=2014;z=2015\)

P/s: Bn thay Ngoặc Kép thành Ngoặc Đơn nhé

Bạn ơi cái này mk chỉ ghi cách làm và ct thôi nha 

đây dùng hàng đẳng thức (a-b)(a+b)=a^2-b^2

còn kia là công thức toán lớp 6

\(\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{1}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{1}}{\left(\sqrt{3}+\sqrt{1}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{1}\right)}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{1}}{\sqrt{3^2}-\sqrt{1^2}}=\frac{1}{2}\left(\sqrt{3}-\sqrt{1}\right)\)

Tương tự:

\(\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{1}{2}\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\)

.....

\(\frac{1}{\sqrt{2019}+\sqrt{2017}}=\frac{1}{2}\left(\sqrt{2019}-\sqrt{2017}\right)\)

Cộng các vế với nhau ta được:

\(S=\frac{1}{2}\left(\sqrt{2019}-\sqrt{1}\right)=\frac{1}{2}\left(\sqrt{2019}-1\right)\)

Bài này em dùng trục căn thức:

VD: \(\frac{1}{\sqrt{3}+1}=\frac{\sqrt{3}-1}{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}=\frac{\sqrt{3}-1}{\left(\sqrt{3}\right)^2-1}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}\)

Tương tự thì ta có:

\(S=\frac{\sqrt{3}-1}{2}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}+...+\frac{\sqrt{2019^2}-\sqrt{2019^2-2}}{2}\)

\(=\frac{\sqrt{2019^2}-1}{2}=\frac{2019-1}{2}=1009\)