cho a,b,c>0 va abc+ = 1 . CMR
a^3/(b+1)(c+1) + b^3/(a+1)(c+1) + c^3/(a+1)(b+1)
Những câu hỏi liên quan
1/cho a, b,c lớn hơn hoặc bằng 0 và a+b+c=3 CMRa/(a+2bc)+b/(b+2ac)+c/(c+2a) \(\ge\)1
2/cho a, b,c lớn hơn hoặc bằng 0 và a+b+c=3 CMR:a/(2a+bc) +b/(2b+ac) +c/(2c+ab) \(\le\)1
cho a;b;c>0 va a^2+b^2+c^2=5/3 cmr 1/a+1/a+1/c<1/abc
Mình theo một số nguồn trên Internet thì đề đúng là : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}< \frac{1}{abc}.\)
Ta có :
\(a^2+b^2+c^2-2bc-2ca+2ab\)
\(=\left(a+b-c\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2-2bc-2ca+2ab\ge0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge2bc+2ca-2ab\)
Dấu bằng xảy ra khi \(a+b=c\)
Mà \(\frac{5}{3}< \frac{6}{3}=2\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2< 2\)
\(\Rightarrow2bc+2ac-2ab\le a^2+b^2+c^2< 2\)
\(\Rightarrow2bc+2ac-2ab< 2\)
Do a ; b ; c > 0
\(\Rightarrow\frac{2bc+2ac-2ab}{2abc}< \frac{2}{2abc}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}< \frac{1}{abc}\)
Vậy ...
Đúng 0
Bình luận (0)
Bài 1: Cho a,b,c >0 t/m: abc=1
CMR: \(\dfrac{1}{a^3+b^3+1}+\dfrac{1}{b^3+c^3+1}+\dfrac{1}{c^3+a^3+1}\le1\)
Bài 2: Cho a,b,c >0 t/m a+b+c=1
CMR: \(\dfrac{1+a}{1-a}+\dfrac{1+b}{1-b}+\dfrac{1+c}{1-c}\ge6\)
Bài 3: Cho a,b,c >0 t/m abc=1
CMR: \(\dfrac{ab}{a^4+b^4+ab}+\dfrac{bc}{b^4+c^4+bc}+\dfrac{ac}{c^4+a^4+ac}\le1\)
a/ Cho abc khác 0 và a+b+c=1/a+1/b+1/c. C/m b(a^2-bc)(1-ac)=a(1-bc)(b^2-ac)
b/ Cho abc khác 0 và (a+b+c)2 = a2+b2+c2. C/m 1/a3 +1/b3 +1/c3 =
3/abc
Cập nhật: a/ Cho abc khác 0 và a+b+c=1/a+1/b+1/c. C/m b(a^2-bc)(1-ac)=a(1-bc)(b^2-ac)
b/ Cho abc khác 0 và (a+b+c)2 = a2+b2+c2. C/m 1/a^3 +1/b^3 +1/c^3 =
3/abc
Cho 1/c=1/2(1/a+1/b)(voi a,b,ckhac 0; b khac c). CMRa/b=a-c/c-b
cho a,b,c >0 va abc=1 c/m
\(\frac{1+ab^2}{c^3}+\frac{1+bc^2}{a^3}+\frac{1+ca^2}{b^3}>=\frac{18}{a^3+b^3+c^3}\)
Ta có 1 + ab2 \(\ge\)\(2b\sqrt{a}\)
1 + bc2 \(\ge2c\sqrt{b}\)
1 + ca2 \(\ge2a\sqrt{c}\)
VT \(\ge\)\(2\left(\frac{b\sqrt{a}}{c^3}+\frac{c\sqrt{b}}{a^3}+\frac{a\sqrt{c}}{b^3}\right)\)
\(\ge2\frac{\left(\sqrt[4]{b^2a}+\sqrt[4]{c^2b}+\sqrt[4]{a^2c}\right)^2}{a^3+b^3+c^3}\)
\(\ge2\frac{\left(3\sqrt[12]{a^3b^3c^3}\right)^2}{a^3+b^3+c^3}\)
\(\ge\frac{18}{a^3+b^3+c^3}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho a,b,c>0 va abc=1 cmr
\(\dfrac{1}{a^3\times\left(b+c\right)}+\dfrac{1}{b^3\times\left(a+c\right)}+\dfrac{1}{c^3\times\left(a+b\right)}\ge\dfrac{3}{2}\)
\(\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\dfrac{1}{b^3\left(a+c\right)}+\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}\)
\(=\dfrac{abc}{a^3\left(b+c\right)}+\dfrac{abc}{b^3\left(a+c\right)}+\dfrac{abc}{c^3\left(a+b\right)}\)
\(=\dfrac{bc}{a^2\left(b+c\right)}+\dfrac{ac}{b^2\left(a+c\right)}+\dfrac{ab}{c^2\left(a+b\right)}\)
\(=\dfrac{b^2c^2}{a^2bc\left(b+c\right)}+\dfrac{a^2c^2}{ab^2c\left(a+c\right)}+\dfrac{a^2b^2}{abc^2\left(a+b\right)}\)
\(Cauchy-Schwarz:\)
\(VT\ge\dfrac{\left(bc+ac+ab\right)^2}{abc\left[a\left(b+c\right)+b\left(a+c\right)+c\left(a+b\right)\right]}\)
\(=\dfrac{\left(bc+ac+ab\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\dfrac{ab+bc+ca}{2}\)
\(AM-GM:\)
\(ab+bc+ca\ge\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}=3\)
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{ab+bc+ca}{2}\ge\dfrac{3}{2}\)
\("="\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Lời giải khác:
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{a(b+c)}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4a^2}}=\frac{1}{a}=\frac{abc}{a}=bc\)
\(\frac{1}{b^3(a+c)}+\frac{b(a+c)}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4b^2}}=\frac{1}{b}=\frac{abc}{b}=ac\)
\(\frac{1}{c^3(a+b)}+\frac{c(a+b)}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4c^2}}=\frac{1}{c}=\frac{abc}{c}=ab\)
Cộng theo vế và rút gọn:
\(\Rightarrow \frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(a+c)}+\frac{1}{c^3(a+b)}+\frac{ab+bc+ac}{2}\ge ab+bc+ac\)
\(\Rightarrow \frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(a+c)}+\frac{1}{c^3(a+b)}\geq \frac{ab+bc+ac}{2}\geq \frac{3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}{2}=\frac{3}{2}\) (AM_GM)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
Đúng 0
Bình luận (0)
cho (a+b+c)2=a2+b2+c2 va a,b,c khác 0.chung minh 1/a3+1/b3+1/c3=3/abc
Cho a+ b+ c = abc va a , b ,c >0 . CMR : a + b + c >=\(3\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)