Gọi U là UCLN của (14n+3) và (21n+4) 
Để phân số (14*n+3)/(21*n+4) tối giản thì U=1. 
ta có: 
14n+3 chia hết cho U và 21n+4 chia hết cho U 
=> 3(14n+3) chia hết cho U và 2(21n+4) chia hết cho U 
=> 3(14n+3)-2(21n+4) chia hết cho U 
=> 1 chia hết cho U 
=> u=+-1 
Vậy UCLN của (14n+3) và (21n+4) là 1, 
hay phân số (14*n+3) / (21*n+4) tối giản

Gọi d là UC(30 x n + 2;12 x n + 1)
Ta có: 30 x n + 2 = 2.(30 x n + 2) = 60 x n + 4
12 x n + 1 = 5.(12 x n + 1) = 60 x n + 5
Vì d là UC(30 x n + 2;12 x n + 1) nên 
=> 60 x n + 4 chia hết cho d
=> 60 x n + 5 chia hết cho d
=> (60 x n + 5) - (60 x n + 4) chia hết cho d
=> 1 chia hết cho d
=> d = +1
Vậy p/s \(\frac{30.n+2}{12.n+1}\) là p/s tối giản

Gọi d là UCLN(n+3,2n+5)

=> n+3:d , 2n+5:d

=>2n+6:d , 2n+5:d

=>2n+6 - 2n+5 :d

=> 1: d

Vậy n+3/2n+5 là phan so toi gian

Minh nhanh nhat nen cho minh nhe

gọi \(\text{Ư}CLN_{\left(n+3;2n+5\right)}=d\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}n+3⋮d\\2n+5⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2\left(n+3\right)⋮d\\2n+5⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}2n+6⋮d\\2n+5⋮d\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow2n+6-\left(2n+5\right)⋮d\)

\(\Rightarrow2n+6-2n-5⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

\(\Rightarrow d=1\)

vậy phân số \(\frac{n+3}{2n+5}\) là phân số tối giản

Gọi UCLN(3 x n;3 x n+1)=d

Ta có 3 x n chia hết cho d

      3 x n+1 chia hết cho d

=>(3 x n+1)-(3 x n) chia hết cho d

=>1 chia hết cho d

=>d=1

Vậy phân số trên tối giản

Gọi d là ƯC ( 3n ; 3n + 1 )

=> 3n ⋮ d

=> 3n + 1 ⋮ d

=> [ ( 3n + 1 ) - 3n ] ⋮ d

=> 1 ⋮ d => d = 1

Vì ƯC ( 3n ; 3n + 1 ) = 1 nên 3n/3n+1 là p/s tối giản ( đpcm )

Gọi d là ƯCLN của n + 1 và 2n + 3

Khi đó n + 1 chai hết cho d ; 2n + 3 chia hết cho d

<=> 2n + 2 chia hết cho d  ; 2n + 3 chia hết cho d

=> (2n + 3) - (2n + 2) chai hết cho d

=> 1 chia hết cho d

=> d = 1 

Vậy p/s n + 1/2n + 3 tối giản vs mọi n thuộc N

gọi d là ƯC(n+3;2n+7)            (1)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}n+3⋮d\\2n+7⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2\left(n+3\right)⋮d\\2n+7⋮d\end{cases}}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2n+6⋮d\\2n+7⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(2n+7\right)-\left(2n+6\right)⋮d\)

\(\Rightarrow2n+7-2n-6⋮d\)

\(\Rightarrow\left(2n-2n\right)+\left(7-6\right)⋮d\)

\(\Rightarrow0+1⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

\(\Rightarrow d\inƯ\left(1\right)=\left\{-1;1\right\}\)      (2)

\(\left(1\right)\left(2\right)\RightarrowƯC\left(n+3;2n+7\right)=\left\{-1;1\right\}\)

vậy \(\frac{n+3}{2n+7}\) là p/s tối giản \(\forall n\in N\)

Gọi d \(\in\)ƯC ( n + 3 ; 2n + 7 )

Theo bài ra ta có :

n + 3 \(⋮\)d ; 2n + 7 \(⋮\)d

=> 2 ( n + 3 ) \(⋮\)d ; 2n + 7 \(⋮\)d

=> 2n + 6 \(⋮\)d ; 2n + 7 \(⋮\)d

=> ( 2n + 7 ) - ( 2n + 6 ) \(⋮\)d

=> 1 \(⋮\)d

Vậy \(\frac{n+3}{2n+7}\)là phân số tối giản với n \(\in N\)

gọi UCLN(5n+3; 3n+2)=d khi đó 5n+3 chia hết cho d suy ra 15n+9 chia hết cho d (1)

3n+2 chia hết cho d nên 15n + 10 cũng chia hết cho d (2)   ( dử dụng tính chất a chia hết cho m thì a.n cũng chia hết cho m)

từ 1 và 2 suy ra (15n+10)-(15n+9) chia hết cho d hay 1 chia hết cho d ( tính chất chia hết của 1 tổng- hiệu). vậy d=1

vậy UCLN(5n+3; 3n+2)=1 hay phân số trên tối giản

lưu ý: để chứng minh 1 phân số tối giản ta chứng minh UCLN của tử và mẫu bằng 1. còn trong tập Z ta cm UCLN = +-1