c)

  K ẻ   B N ⊥ A C N ∈ A C .   B A C ⏜ = 60 0 ⇒ A B N ⏜ = 30 0 ⇒ A N = A B 2 = c 2 ⇒ B N 2 = A B 2 − A N 2 = 3 c 2 4 ⇒ B C 2 = B N 2 + C N 2 = 3 c 2 4 + b − c 2 2 = b 2 + c 2 − b c ⇒ B C = b 2 + c 2 − b c

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Xét tam giác đều BCE có  R = O E = 2 3 E M = 2 B C 3 3.2 = 1 3 . 3 b 2 + c 2 − b c

Hình như yêu cầu của đề bài sai.

đề sai thì phải

a) Vì tam giác ABC vuông tại A nên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là đường tròn đường kính BC

=> BC = 2.R_{ngoại tiếp}  = 2.37 = 74

b) Gọi I là đường tròn nội tiếp tam giác ABC => đường tròn (I) tiếp xúc với 3 cạnh của tam giác ABC

Kẻ IM; IN; IP lần lượt vuông góc với AB; AC; BC => IM = IN = IP = bán kính  đường tròn nội tiếp = 5

Gọi a; b là độ dài 2 cạnh AB; AC 

Ta có: AB² + AC² = BC² (Định lí Pi ta go) => a² + b² = 5476 (*)

Ta có: S_ABC = AB.AC : 2 = \(\frac{ab}{2}\) (1)

Mặt khác, S_ABC = S_IAB + S_IAC + S_IBC = IM.AB/2 + IN.AC/2 + IP.BC/2 

= \(\frac{5a}{2}+\frac{5b}{2}+\frac{5.74}{2}=\frac{5a+5b+370}{2}\) (2)

Từ (1)(2) => ab = 5a + 5b + 370 => ab = 5(a + b) + 370   (**)

Từ (*) => (a + b)² - 2ab = 5476 . Thay (**) vào ta được:

(a+ b)² - 10(a + b) -740 = 5476

=> (a + b)² - 10(a+ b) - 6216 = 0 

<=> (a + b)² - 84(a + b) + 74(a + b) - 6216 = 0 

<=> (a + b - 84).(a + b + 74) = 0 

<=> a + b - 84 = 0 (Vì a; b là độ dài đoạn thẳng nên a + b + 74 > 0)

=> a + b = 84. Thay vào (**) => ab = 790 

=> a. (84 - a) = 790 => a² - 84a + 790 = 0 => (a² - 84a + 42²) -974 = 0 <=> (a - 42)² = 974 <=> a - 42 = \(\sqrt{974}\) hoặc - \(\sqrt{974}\)

=> a = 42 + \(\sqrt{974}\) hoặc a = 42 - \(\sqrt{974}\)

=> b = ...

Vậy.....

khó vậy má

Bán kính đường tròn ngoại tiếp là 37 suy ra BC=74

Bán kính đường tròn nội tiếp là 5 suy ra \(\frac{AB+AC-BC}{2}\)=5 suy ra AB +AC = 84

suy ra AB² +AC² +2AB.AC= 7056 suy ra AB.AC=790 

suy ra AB = 42 -\(\sqrt{974}\) 

AC = 42 + \(\sqrt{974}\)

Ta cần chứng minh tam giác MNP là tam giác cân và có một góc bằng \(\frac{\Pi}{3}\)

Giả sử  lục giacs có hướng âm, kí hiệu \(f\) là phép quay vec tơ theo góc \(-\frac{\Pi}{3}\) và M, N. P theo thứ tự là trung điểm FA, BC, DE

Khi đó AB=BO, CD=DO=OC, EF=FO=OE nên các tam giác ABO, CDO, EFO đều và có hướng âm

Suy ra \(f\left(\overrightarrow{AB}\right)=\overrightarrow{AO}\), \(f\left(\overrightarrow{OC}\right)=\overrightarrow{OD}\), \(f\left(\overrightarrow{FO}\right)=\overrightarrow{FE}\)

Từ đó ta có :

\(f\left(\overrightarrow{MN}\right)=f\left(\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{FC}\right)\right)=\frac{1}{2}\left(f\left(\overrightarrow{AB}\right)+f\left(\overrightarrow{FC}\right)\right)\)

                \(=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AO}\right)+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{FE}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{FE}\right)\)

                \(=\overrightarrow{MP}\)

Suy ra tam giác MNP cân và có góc PMN = \(\frac{\Pi}{3}\) => Điều phải chứng minh