Xét tam giác vuông OAB:

\(OB=\sqrt{AB^2-OA^2}=4\)

Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông ABD với đường cao AO:

\(AB^2=OB.BD\Rightarrow BD=\dfrac{AB^2}{OB}=13\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}OD=BD-OB=9\\AD=\sqrt{BD^2-AB^2}=\sqrt{29}\end{matrix}\right.\)

\(\widehat{BAO}=\widehat{DCO}\left(slt\right)\Rightarrow\Delta_VAOB\sim\Delta_VCOD\) (g.g)

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{DC}=\dfrac{OB}{OD}\Rightarrow DC=\dfrac{AB.OD}{OB}=\dfrac{9\sqrt{13}}{2}\)

\(S_{ABCD}=\dfrac{1}{2}AD.\left(AB+CD\right)=\dfrac{1}{2}.\sqrt{29}.\left(2\sqrt{13}+\dfrac{9\sqrt{13}}{2}\right)=...\)

từ  tìm dk AD, =>DO
sau đó  tìm dk DC=> diện tích hình thang

AB=2\(\sqrt{13}\)hay 2\(\sqrt{12}\)vậy?? căn 12 còn dễ tính chứ căn 13 lẻ toác cả bài.

sin... = \(\frac{6}{2\sqrt{12}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)=> góc =>tính ra cạnh

Hình tự vẽ nhé :v

Ta có: \(AC\perp BD\Rightarrow\widehat{AOB}=9\)

\(\widehat{AOB}=\widehat{O}=90^o\Rightarrow AO^2+OB^2=AB^2\)

\(\Rightarrow OB^2=AB^2-AO^2\)

               \(=\left(2\sqrt{13}\right)^2-6^2\)

               \(=16\) (cm)

\(\Delta ABD=\widehat{A}=90^o\) ; AO là đường cao

\(\Rightarrow AB^2=BO.BD\)

\(\Rightarrow BD=\frac{AB^2}{BO}\) 

             \(=\frac{\left(2\sqrt{13}\right)^2}{4}\)

             \(=13\) (cm)

+) \(AB^2+AD^2=BD^2\)

\(\Rightarrow AD^2=BD^2-AB^2\)

               \(=13^2-\left(2\sqrt{13}\right)^2\)

               \(=3\sqrt{13}\) (cm)

\(\Delta ADC=\widehat{D}=90^o\) ; DO là đường cao

\(\Rightarrow AD^2=AO.AC\)

\(\Rightarrow AC=\frac{AD^2}{AO}=\frac{117}{6}=\frac{39}{2}\)

+) \(AD^2+DC^2=AC^2\)

\(\Rightarrow DC^2=\left(\frac{39}{2}\right)^2-\left(3\sqrt{13}\right)\)

\(\Rightarrow DC=\frac{9\sqrt{13}}{2}\)

\(\Rightarrow S_{ABCD}=\frac{1}{2}.AD.\left(AB+CD\right)\)

                 \(=\frac{1}{2}.3\sqrt{13}.\left(2\sqrt{3}+\frac{9\sqrt{13}}{2}\right)\)

                 \(=126,75\)

Xét tam giác \(ABD\)vuông tại \(A\):

\(BD^2=AB^2+AD^2\)(định lí Pythagore) 

\(=4^2+10^2=116\)

\(\Rightarrow BD=\sqrt{116}=2\sqrt{29}\left(cm\right)\)

Lấy \(E\)thuộc \(CD\)sao cho \(AE\perp AC\)

Suy ra \(ABDE\)là hình bình hành. 

\(AE=BD=2\sqrt{29}\left(cm\right),DE=AB=4\left(cm\right)\).

Xét tam giác \(AEC\)vuông tại \(A\)đường cao \(AD\):

\(\frac{1}{AD^2}=\frac{1}{AE^2}+\frac{1}{AC^2}\Leftrightarrow\frac{1}{AC^2}=\frac{1}{AD^2}-\frac{1}{AE^2}=\frac{1}{100}-\frac{1}{116}=\frac{1}{715}\)

\(\Rightarrow AC=\sqrt{715}\left(cm\right)\)

\(AE^2=ED.EC\Leftrightarrow EC=\frac{AE^2}{ED}=\frac{116}{4}=29\left(cm\right)\)suy ra \(DC=25\left(cm\right)\)

Hạ \(BH\perp CD\).

\(BC^2=HC^2+BH^2=21^2+10^2=541\Rightarrow BC=\sqrt{541}\left(cm\right)\)

\(S_{ABCD}=\left(AB+CD\right)\div2\times AD=\frac{4+25}{2}\times10=145\left(cm^2\right)\)