\(\dfrac{a}{b+c}=\dfrac{b}{a+c}=\dfrac{c}{a+b}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{b+c}+1=\dfrac{b}{a+c}+1=\dfrac{c}{a+b}+1\)

\(\Rightarrow\dfrac{a+b+c}{b+c}=\dfrac{a+b+c}{a+c}=\dfrac{a+b+c}{a+b}\)

\(\Rightarrow b+c=a+c=b+a\)

\(\Rightarrow a=b=c\)

\(\dfrac{a}{b+c}=\dfrac{b}{a+c}=\dfrac{c}{a+b}=\dfrac{a}{a+a}=\dfrac{1}{2}\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a-b=x\\b-c=y\\c-a=z\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x+y+z=0\)

\(\Leftrightarrow A=\sqrt{\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}}\\ \Leftrightarrow A=\sqrt{\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2-2\left(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}\right)}\\ \Leftrightarrow A=\sqrt{\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2-\dfrac{2\left(x+y+z\right)}{xyz}}\\ \Leftrightarrow A=\sqrt{\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2-\dfrac{2\cdot0}{xyz}}\\ \Leftrightarrow A=\sqrt{\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2}=\left|\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right|\left(đpcm\right)\)

Từ \(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ  số bằng nhau ta có 

\(\frac{a}{b+c}=\frac{a+b+c}{b+c+c+a+a+b}=\frac{a+b+c}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{2}\)

Tương tự \(\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}=\frac{1}{2}\)

Vậy \(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}=\frac{1}{2}\)

\(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}=\frac{a+b+c}{2a+2b+2c}=\frac{1}{2}\)(dãy tỉ số bằng nhau)

\(\Rightarrow2a=b+c\)
\(\Rightarrow2b=c+a\)

\(\Rightarrow2c=a+b\)

ta có hpt:

\(\hept{\begin{cases}2a=b+c\\2b=c+a\\2c=a+b\end{cases}\hept{\begin{cases}b=2a-c\\2b=c+a\\2c=a+b\end{cases}}}\)

thế b ta đc

\(\hept{\begin{cases}4a-2c=c+a\\2c=a+2a-c\end{cases}\hept{\begin{cases}3a-3c=0\\3c=3a=0\end{cases}\Rightarrow}}a=c\)

\(b=2a-c=a\)

\(\Rightarrow a=b=c\)vậy pt vô số nghiệm

 a # b # c # a, thỏa a/(b-c) + b/(c-a) + c/(a-b) = 0 
<=> a(c-a)(a-b) + b(a-b)(b-c) + c(b-c)(c-a) = 0 
<=> -a(a-b)(a-c) - b(b-a)(b-c) - c(c-a)(c-b) = 0 
<=> a(a-b)(a-c) + b(b-a)(b-c) + c(c-a)(c-b) = 0 (*) 
từ (*) ta thấy a, b, c đối xứng nên không giãm tính tổng quát giả sử: a > b > c 

* Nếu a, b, c đều không âm, giả thiết trên thành a > b > c ≥ 0 
(*) <=> (a-b)(a² - ac - b² + bc) + c(c-a)(c-b) = 0 
<=> (a-b)[(a+b)(a-b) -c(a-b)] + c(c-a)(c-b) = 0 
<=> (a-b)².(a+b-c) + c(a-c)(b-c) = 0 (1*) 

thấy b - c > 0 (do b > c) và a > 0 => a+b-c > 0 => (a-b)².(a+b-c) > 0 và c(a-c)(b-c) ≥ 0 
=> (a-b)².(a+b-c) + c(a-c)(b-c) > 0 mâu thuẩn với (1*) 

Vậy c < 0 (nói chung là trong a, b, c phải có số âm) 

* Nếu cả a, b, c đều không có số dương do giả thiết trên ta có: 0 ≥ a > b > c 

(*) <=> a(a-b)(a-c) + (b-c)(b² - ab - c² + ca) = 0 
<=> a(a-b)(a-c) + (b-c)[(b+c)(b-c) - a(b-c)] = 0 
<=> a(a-b)(a-c) + (b-c)².(b+c-a) = 0 (2*) 

a - b > 0; a - c > 0 => a(a-b)(a-c) ≤ 0 (vì a ≤ 0) 
và b < 0; c - a < 0 => b + c -a < 0 => (b-c)².(b+c-a) < 0 
=> a(a-b)(a-c) + (b-c)².(b+c-a) < 0 mẫu thuẩn với (2*) 

chứng tỏ trong a, b, c phải có số dương 

Tóm lại trong 3 số a, b, c phải có số dương và số âm 

vk oi ck ne ket ban nhe

thứ nhất , bạn nguyễn truong ngọc thi hình như trả lời ko đúng câu hỏi ( mặc dù max dài )

thứ hai, bạn dặt câu hỏi có thể đã chép nhầm đề nhá, trong 3 cái bình phương bắt buộc phải có dấu + , chứ toàn dấu trừ thì k làm dc , nếu đúng là đề nhầm thì liên lạc fb: 

facebook.com/doicanhcongnghethongtin 

(copy dòng trên paste vào trình duyệt rồi enter )

a) Từ giả thiết : \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\text{=}\dfrac{1}{c}\)

\(\Rightarrow2ab\text{=}2bc+2ca\)

\(\Rightarrow2ab-2bc-2ca\text{=}0\)

Ta xét : \(\left(a+b-c\right)^2\text{=}a^2+b^2+c^2+2ab-2bc-2ca\)

\(\text{=}a^2+b^2+c^2\)

Do đó : \(A\text{=}\sqrt{a^2+b^2+c^2}\text{=}\sqrt{\left(a+b-c\right)^2}\)

\(\Rightarrow A\text{=}a+b-c\)

Vì a;b;c là các số hữu tỉ suy ra : đpcm

b) Đặt : \(a\text{=}\dfrac{1}{x-y};b\text{=}\dfrac{1}{y-x};c\text{=}\dfrac{1}{z-x}\)

Do đó : \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\text{=}\dfrac{1}{c}\)

Ta có : \(B\text{=}\sqrt{\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}}\)

Từ đây ta thấy giống phần a nên :

\(B\text{=}a+b-c\)

\(B\text{=}\dfrac{1}{x-y}+\dfrac{1}{y-z}-\dfrac{1}{z-x}\)

Suy ra : đpcm.

Mình bổ sung đề phần b cần phải có điều kiện của x;y;z nha bạn.

Nêu a+b+c khác 0 thi theo tinh chat day ti sô bang nhau ta co.                                     a/b+c=b/c+a=c/a+b=a+b+c/2(a+b+c)=1/2N êu a+b+c=0 thi b+c=-a; c+a=-b;a+b=-c. Nêna/b+c,b/c+a,c/a+b =-1

hay""'!!1!!!

^^^^

@@@@@@@@@

Vì =\(\frac{b}{a+c}\)=\(\frac{a}{b+c}\)\(\frac{c}{a+b}\)

Nên a=b=c

suy ra \(\frac{a}{b+c}\)=\(\frac{b}{a+c}\)=\(\frac{c}{a+b}\)

Vậy\(\frac{a}{b+c}\)=\(\frac{b}{a+c}\)=\(\frac{c}{a+b}\)= \(\frac{1}{2}\)