Ta có: \(\frac{a^2+b^2+a+b}{ab}\) là số nguyên \(\Rightarrow\left(a^2+b^2+a+b\right)⋮d^2\)

Mà \(a^2,b^2⋮d^2\Rightarrow\left(a+b\right)⋮d^2\Rightarrow a+b\ge d^2\Rightarrow\sqrt{a+b}\ge d\) hay \(d\le\sqrt{a+b}\) (đpcm)

Ta có: \(\frac{a+1}{a}+\frac{b+1}{b}=\frac{ab+a+b+ab}{ab}=2+\frac{a+b}{ab}\in Z\)

\(\Rightarrow\frac{a+b}{ab}\in Z\forall a,b>0\) nên \(\frac{a+b}{ab}\ge1\Rightarrow a+b\ge ab\)

Do d là ước a nên \(a⋮d\Rightarrow a\ge d>0\)

d là ước b nên \(b⋮d\Rightarrow b\ge d>0\)

Suy ra \(ad\ge d^2\Rightarrow a+b\ge d^2\Rightarrow\sqrt{a+b}\ge d\)

Điều phải chứng minh

\(P=\frac{a+1}{a}+\frac{b+1}{b}=2+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=2+\frac{a+b}{ab}\)

\(\hept{\begin{cases}a,b>0\\P\in Z\end{cases}\Rightarrow ab\le\left(a+b\right)}\)(*) a,b vai trò như nhau; g/s \(a\le b\Rightarrow d\le a\le b\Rightarrow d^2\le ab\)

Từ (*)\(\Rightarrow d^2\le ab\le\left(a+b\right)\Rightarrow d\le\sqrt{ab}\le\sqrt{a+b}\)

Đẳng thức chỉ xẩy ra khi a=b=2=> dpcm

Đây là số học lớp 10.

Thiếu\(\left(a;b\right)=d\)

Vì \(\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{a}\inℤ\Rightarrow a^2+b^2+a+b⋮ab\)

Lại có:\(\hept{\begin{cases}a⋮d\\b⋮d\end{cases}}\)Suy ra ab\(⋮\)\(d^2\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+a+b⋮d^2\)

Mà \(a^2+b^2⋮d^2\)

Suy ra \(a+b⋮d^2\Rightarrow a+b\ge d^2\Rightarrow\sqrt{a+b}\ge d\)(đpcm)

Please help me!

1,

\(\frac{a}{1+\frac{b}{a}}+\frac{b}{1+\frac{c}{b}}+\frac{c}{1+\frac{a}{c}}=\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\ge\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2}=\frac{2}{2}=1\left(Q.E.D\right)\)