thay trực tiếp giả thiết ta có

\(\sqrt{\left(a^2+1\right)}=\sqrt{a^2+ab+bc+ac}=\sqrt{a\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)}=\sqrt{\left(a+c\right)\left(a+b\right)}\)

tương tự ta có

\(\sqrt{b^2+1}=\sqrt{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}\)

\(\sqrt{c^2+1}=\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}\)

nên

\(\sqrt{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}=\sqrt{\left(\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)\right)^2}=\left|\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)\right|\)

mà \(a,b,c\in Q\) nên \(\left|\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)\right|\in Q\Rightarrowđpcm\)

Lời giải:

Ta có \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}=0\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow {c}=-2\overrightarrow{c}\)

\(\Rightarrow (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})^2=(-2\overrightarrow{c})^2\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c}+\overrightarrow{c}.\overrightarrow{a})=4c^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c}+\overrightarrow{c}.\overrightarrow{a})=4z^2\)

\(\Leftrightarrow 2(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c}+\overrightarrow{c}.\overrightarrow{a})=3z^2-x^2-y^2\)

\(\Leftrightarrow A=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c}+\overrightarrow{c}.\overrightarrow{a}=\frac{3z^2-x^2-y^2}{2}\)

dự đoán của Thần thánh

\(\frac{ab}{a^2+b^2}=\frac{a^2}{2a^2}=\frac{1}{2}\)

\(VT=\frac{3}{2}+\frac{9}{4}=\frac{12}{8}+\frac{18}{8}=\frac{30}{8}=\frac{15}{4}\)

\(p=\frac{ab}{a^2+b^2}+....+\frac{ca}{c^2+a^2};A=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{A}+\frac{1}{B}+\frac{1}{C}\right)\)

áp dụng BDT cô si ta có

\(\frac{ab}{a^2+b^2}+\frac{\left(a^2+b^2\right)}{\frac{4}{9}}\ge2\sqrt{\frac{ab}{\frac{4}{9}}}=\frac{2}{\frac{2}{3}}\sqrt{ab}=3\sqrt{ab}\)

tương tự với các BDT còn lại suy ra

\(p+\frac{9}{4}\left(2a^2+2b^2+2c^2\right)\ge3\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)\)

\(P+\frac{9}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge3\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\)

áp dụng BDT cô si ta có

\(a^2+\frac{1}{9}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{9}}=\frac{2a}{3}\)

tương tự với b^2+c^2 ta được

\(a^2+b^2+c^2+\frac{1}{3}\ge\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)=\frac{2}{3}\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\) 

" thay 1/3 vào ta được

\(p+\frac{3}{2}\ge3\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\)

áp dụng BDT cô si dạng " Rei " " luôn đúng với những bài ngược dấu "

\(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\ge3\sqrt[3]{\sqrt{abc}}=3\sqrt[3]{abc}\)

mà \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\) 

thay a+b+c=1 vào ta được

\(P+\frac{3}{2}\ge3\Leftrightarrow P\ge\frac{6}{2}-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\) " 1 "

bây giờ tính nốt con \(A=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

áp dụng BDT \(\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\frac{1}{a+b+c}\)

\(A=\frac{9}{4}.\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\frac{9}{4}\left(\frac{1}{a+b+c}\right)\)

mà a+b+C=1 suy ra

\(A\ge\frac{9}{4}\) "2"

từ 1 và 2 suy ra

\(VT=P+A\ge\frac{3}{2}+\frac{9}{4}=\frac{12}{8}+\frac{18}{8}=\frac{30}{8}=\frac{15}{4}\)

" đúng với dự đoán của thần thánh "

bài 3 : \(\left\{{}\begin{matrix}ab=2\\bc=3\\ca=54\end{matrix}\right.\)

hiển nhiên a;b;c =0 không phải nghiệm

\(\Leftrightarrow\left(abc\right)^2=2.3.54=18^2\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}abc=-18\\abc=18\end{matrix}\right.\)

abc=-18 => c=-9; a=-6; b=-1/3

abc=18 => c=9; a=6; b=1/3

a,Theo gt, ta có :\(a.\left(a-b\right)-b.\left(a-b\right)=64\Rightarrow\left(a-b\right)^2=64\Rightarrow\)\(\Rightarrow a-b=8\left(1\right)\)

Lại có:\(a.\left(a-b\right)+b.\left(a-b\right)=-16\Rightarrow\left(a+b\right).\left(a-b\right)=-16.\left(2\right)\)\(Thay:a-b=8\)vào \(\left(2\right)\) ta được:

\(\left(a+b\right).8=-16\Rightarrow a+b=-2\left(3\right)\)

Từ \(\left(1\right)\)và \(\left(3\right)\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=3\\b=-5\end{cases}}\)

b, Theo gt, ta có :\(a.b.b.c.c.a=\frac{1}{16}\Rightarrow\left(a.b.c\right)^2=\frac{1}{16}\Rightarrow a.b.c=\frac{1}{4}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{1}{2}\\b=-\frac{2}{3}\\c=-\frac{3}{4}\end{cases}}\)

gt <=>     \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\)

<=>     \(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0\)

<=>   \(\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)=0\)

<=>    \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)        (1)

TA LUÔN CÓ:     \(\left(a-b\right)^2;\left(b-c\right)^2;\left(c-a\right)^2\ge0\forall a;b;c\)

=>     \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)        (2)

TỪ (1) VÀ (2) =>    DẤU "=" SẼ XẢY RA <=>     \(\left(a-b\right)^2=\left(b-c\right)^2=\left(c-a\right)^2=0\)

<=>     \(a=b=c\)

VẬY TA CÓ ĐPCM.

a² + b² + c² = ab + bc + ca

<=> 2( a² + b² + c² ) = 2( ab + bc + ca )

<=> 2a² + 2b² + 2c² - 2ab - 2bc - 2ca = 0

<=> ( a² - 2ab + b² ) + ( b² - 2bc + c² ) + ( c² - 2ca + a² ) = 0

<=> ( a - b )² + ( b - c )² + ( c - a )² = 0 (*)

Ta có : \(\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2\\\left(b-c\right)^2\\\left(c-a\right)^2\end{cases}}\ge0\forall a,b,c\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)

Đẳng thức xảy ra ( tức là (*) xảy ra ) <=> \(\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}}\Rightarrow a=b=c\)

=> ĐPCM

Nhân mẫu số vào ta được :

ac + ad + bd + bc +ab - ac -bd + dc = ab + bc + cd +da

=> biểu thức trên có giá trị rút gọn là abcd