cho a và b là hai số tự nhiên lớn hơn 0. chứng minh rằng nếu (16a +17b).(17a+16b) chia hết cho 11 thì tích có ít nhất 1 ước là số chính phương.
Giả sử a và b là 2 số tự nhiên để (16a + 17b ).(17a +16b ) chia hết cho 11 . Chứng minh rằng tích (16a + 17b ) . (17a + 16b ) chia hêt cho 121
Cho a, b \(\in\)N*. CMR: Nếu (16a + 17b) (16b + 17a) chia hết cho 11 thì tích đó có ít nhất 1 ước là số chính phương
11 là số nguyên tố, (16a+17b)(17a+16b) chia hết cho 11 => có ít nhất một thừa số chia hết cho 11, không giãm tính tính tổng quát, giả sử (16a+17b) chia hết cho 11
ta cm (17a+16b) cũng chia hết cho 11, thật vậy:
16a + 17b chia hết cho 11 => 2(16a + 17b) chia hết cho 11
=> 33(a+b) + b -a chia hết cho 11 => b-a chia hết cho 11
=> a-b chia hết cho 11
Ta có: 2(17a+16b) = 33(a+b) + a-b chia hết cho 11
do 2 và 11 là hai số nguyên tố => 17a+16b chia hết cho 11
Vậy (16a+17b)(17a+16b) chia hết cho 11.11 = 121 = 11^2 là scp => đpcm
Đề cho là (16a+17b) + (16b+17a) chia hết cho 11 chứ đâu phải là (16a+17b) . (16b+17a) chia hết cho 11
Đầu tiên, chúng ta xét xem (16a+17b)(17a+16b) chia hết cho 11 hay không. Ta biểu diễn số m = (16a+17b)(17a+16b) dưới dạng m = 272a^2 + 528ab + 272b^2.
Vì 11 là một số nguyên tố, nên theo tính chất của phép nhân, để m là một bội số của 11, thì mỗi thành phần của m cũng phải là một bội số của 11.
Ta thấy rằng 272a^2 và 272b^2 đều chia hết cho 11, vì 272 chia hết cho 11. Vì vậy, ta chỉ cần chứng minh rằng 528ab chia hết cho 11 để kết luận m là một bội số của 11.
Để chứng minh điều này, ta sử dụng tính chất căn bậc hai modulo 11. Ta biết rằng căn bậc hai của 11 là 5 hoặc -5 (vì 5^2 = 25 ≡ 3 (mod 11)). Vì vậy, ta có:
(16a+17b)(17a+16b) ≡ (5a+6b)(6a+5b) (mod 11).
Mở ngoặc, ta được:
(5a+6b)(6a+5b) ≡ 30ab + 30ab ≡ 60ab ≡ 6ab (mod 11).
Vì 6 không chia hết cho 11, nên 6ab cũng không chia hết cho 11. Do đó, ta kết luận rằng 528ab không chia hết cho 11 và m là một bội số của 11.
Tiếp theo, chúng ta cần chứng minh rằng m là một bội số của 121. Để làm điều này, ta cần chứng minh rằng m chia hết cho 121.
Một cách để chứng minh rằng m chia hết cho 121 là tìm một số tự nhiên k sao cho m = 121k. Để làm điều này, chúng ta cần tìm một số tự nhiên k sao cho (16a+17b)(17a+16b) = 121k.
Ta biểu diễn số m = (16a+17b)(17a+16b) dưới dạng m = 272a^2 + 528ab + 272b^2.
Chúng ta đã chứng minh rằng m là một bội số của 11, vậy m = 11m' với m' là một số tự nhiên.
Thay thế m vào công thức m = 272a^2 + 528ab + 272b^2, ta có:
11m' = 272a^2 + 528ab + 272b^2.
Chia cả hai vế của phương trình cho 11, ta có:
m' = 24a^2 + 48ab + 24b^2.
Như vậy, m' là một số tự nhiên. Điều này cho thấy rằng m chia hết cho 121 và m là một bội số của 121.
Để tìm tổng tất cả các số tự nhiên có hai chữ số không chia hết cho 3 và 5, chúng ta cần tìm tổng của tất cả các số tự nhiên từ 10 đến 99 không chia hết cho 3 và 5.Để tính tổng này, chúng ta có thể sử dụng công thức tổng của một dãy số từ một số đến một số khác. Công thức này là:
Tổng = (Số lượng số trong dãy) * (Tổng của số đầu tiên và số cuối cùng) / 2,
trong đó, Số lượng số trong dãy = (Số cuối cùng - Số đầu tiên) + 1.
Áp dụng công thức này vào bài toán, ta có:
Số đầu tiên = 10, Số cuối cùng = 99, Số lượng số trong dãy = (99 - 10) + 1 = 90.
Tổng = 90 * (10 + 99) / 2 = 90 * 109 / 2 = 90 * 54,5 = 4.905.
Vậy tổng tất cả các số tự nhiên có hai chữ số không chia hết cho 3 và 5 là 4.905.
Bài 4. 1) Cho hai số tự nhiên a và b thỏa mãn số: m=(16a+17b)(17a+16b) là một bội số của 11. Chứng minh rằng số m cũng là một bội số của 121 2) Tìm tổng tất cả các số tự nhiên có hai chữ số không chia hết cho 3 và 5
Bài toán 1: Để chứng minh số m cũng là một bội số của 121, ta sẽ sử dụng một số tính chất của phép chia.
Ta có: m = (16a + 17b)(17a + 16b) = (17a + 16b)^2 - (ab)^2
Vì m là một bội số của 11, nên ta có thể viết m dưới dạng m = 11k, với k là một số tự nhiên.
Từ đó, ta có (17a + 16b)^2 - (ab)^2 = 11k.
Áp dụng công thức (a + b)^2 - (ab)^2 = (a - b)^2, ta có (17a + 16b + ab)(17a + 16b - ab) = 11k.
Ta có thể chia hai trường hợp để xét:
Trường hợp 1: (17a + 16b + ab) chia hết cho 11. Trường hợp 2: (17a + 16b - ab) chia hết cho 11.
Trong cả hai trường hợp trên, ta đều có một số tự nhiên tương ứng với mỗi trường hợp.
Do đó, nếu m là một bội số của 11, thì m cũng là một bội số của 121.
Bài toán 2: Để tìm tổng tất cả các số tự nhiên có hai chữ số không chia hết cho 3 và 5, ta cần xác định tập hợp các số thỏa mãn điều kiện trên và tính tổng của chúng.
Các số tự nhiên hai chữ số không chia hết cho 3 và 5 có dạng AB, trong đó A và B lần lượt là các chữ số từ 1 đến 9.
Ta thấy rằng có 3 chữ số (3, 6, 9) chia hết cho 3 và 2 chữ số (5, 0) chia hết cho 5. Vì vậy, số các chữ số không chia hết cho 3 và 5 là 9 - 3 - 2 = 4.
Do đó, mỗi chữ số A có 4 cách chọn và mỗi chữ số B cũng có 4 cách chọn.
Tổng tất cả các số có hai chữ số không chia hết cho 3 và 5 là 4 x (1 + 2 + 3 + ... + 9) x 4 = 4 x 45 x 4 = 720.
Vậy tổng tất cả các số tự nhiên có hai chữ số không chia hết cho 3 và 5 là 720.
1.tìm số tự nhiên n để :2^2n+2^n+1 chia hết cho 7
2.cho a,bthuộc z thỏa mãn (16a+17b ).(17a+16b)chia hết cho 11 chứng minh rằng (16a+17b).(17a+16b)chia hết cho 121
3cho a=4^n+15n-1 với n thuộc N chứng minh rằng a chia hết cho 9
giải chi tiết giùm mình nhé!
2. Câu hỏi của lekhanhhung - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath
cho a,b thuộc Z thỏa mãn (16a+ 17b) (17a+16b) chia hết cho 11, chứng minh rằng (16a + 17b) (17a +16b) chia hết cho 121
giả sử a và b là 2 số nguyên để (16a+17b)×(17a+16b)chia hết cho 11 cm tích (16a+17b)×(17a+16b)chia hết cho 121
Ta có: \(\left(16a+17b\right)\left(17a+16b\right)⋮11\) Vì 11 là số nguyên tố
=> \(\orbr{\begin{cases}16a+17b⋮11\\17a+16b⋮11\end{cases}}\)
Không mất tính tổng quát. G/S: \(16a+17b⋮11\). (1)
Chúng ta chứng minh: \(17a+16b⋮11\)
Vì \(16a+17b⋮11\)
=> \(2\left(16a+17b\right)⋮11\)
=> \(32a+34b⋮11\)
=> \(\left(33a+33b\right)-\left(a-b\right)⋮11\)
Vì \(33a+33b=11\left(3a+3b\right)⋮11\)
=> \(\left(a-b\right)⋮11\)
=> \(\left(33a+33b\right)+\left(a-b\right)⋮11\)
=> \(34a+32b⋮11\)
=> \(2\left(17a+16b\right)⋮11\) mà 2 không chia hết cho 11
=> \(17a+16b⋮11\) (2)
Từ (1) và (2) => \(\left(17a+16b\right)\left(16a+17b\right)⋮\left(11.11\right)\)
=> \(\left(17a+16b\right)\left(16a+17b\right)⋮121\)
Cách khác:
Có: \(\left(16a+17b\right)\left(17a+16b\right)⋮11\) ( vì 11 là số nguyên tố)
=> \(\orbr{\begin{cases}16a+17b⋮11\\17a+16b⋮11\end{cases}}\)
G/s: \(16a+17b⋮11\)(1)
Mà \(\left(16a+17b\right)+\left(17a+16b\right)=\left(33a+33b\right)=11\left(3a+3b\right)⋮11\)
=> \(17a+16b⋮11\)(2)
Từ (1); (2) => \(\left(16a+17b\right)\left(17a+16b\right)⋮121\)
cho a;b \(\in\)N*, cmr nếu:
T=\(\left(16a+17b\right)\left(17a+16b\right)⋮11\)thì tích có ít nhất là 1 số chính phương
Câu hỏi của lekhanhhung - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath
Chứng minh tích chia hết cho 121 , mà 121 là 1 số chính phương
=> T có ít nhất 1 số chính phương.
Ch a,b là số nguyên thỏa mãn (16a+17b)(17a+16b) chia hết cho 11.
Chứng minh: (16a+17b)(17a+16b) chia hết cho 121.