Cho \(x+y+z\ne0,\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}=0\)
Tính \(P=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\)
Cho \(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}=0\)và \(x+y+z\ne0\)Tính \(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\)
Cho x+y+z=7. Biết \frac{x}{y+z} +\frac{y}{x+z} +\frac{z}{x+y} = 3. Tính \frac{x^{2}}{y+z} +\frac{y^{2}}{x+z} +\frac{z^{2}}{x+y}
Cho x, y, z \(\ne0\)t/m x + y + z = 0
CMR: \(\sqrt{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}}=|\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}|\)
Ta co:\(x+y+z=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y+z}{xyz}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=0\)
\(\Leftrightarrow2\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}}=|\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}|\)
\(x+y+z=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y+z}{xyz}=0\)(Vì \(x,y,z\ne0\))
\(\Leftrightarrow\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}+\frac{1}{xy}=0\)
\(\Leftrightarrow2\left(\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}+\frac{1}{xy}\right)=0\)
Mà \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+2\left(\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}+\frac{1}{xy}\right)\)
nên \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}}=\left|\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right|\)(Áp dụng HĐT \(\sqrt{x^2}=\left|x\right|\))
Cho \(x,y,z\ne0\); đôi một cùng dấu thỏa mãn: \(\left(1+\frac{y}{x}\right)\left(1+\frac{z}{y}\right)\left(1+\frac{x}{z}\right)=8\)
Tính \(M=\frac{x^2}{y^2+z^2}+\frac{y^2}{z^2+x^2}+\frac{z^2}{x^2+y^2}\)
Áp dụng bđt côsi cho 2 số dương lần lượt ta có :
\(1+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{y}{x}}\)
\(1+\frac{z}{y}\ge2\sqrt{\frac{z}{y}}\)
\(1+\frac{x}{z}\ge2\sqrt{\frac{x}{z}}\)
Nhân vế theo vế ta đc : \(\left(1+\frac{y}{x}\right)\left(1+\frac{z}{y}\right)\left(1+\frac{x}{z}\right)\ge8\sqrt{\frac{xyz}{xyz}}=8\)
Dấu = xảy ra khi : \(1=\frac{y}{x}\)=> x=y và \(1=\frac{z}{y}\) => z=y và \(1=\frac{x}{z}\) => x=z
=> x=y=z
Thay vào M ta được : \(M=\frac{x^2}{2x^2}+\frac{y^2}{2y^2}+\frac{z^2}{2z^2}=\frac{3}{2}\).
Cho \(x,y,z\ne0\), x,y,z đôi một khác nhau và \(x^3+y^3+z^3=3xyz\)
Tính: \(\left(\frac{x-y}{z}+\frac{y-z}{x}+\frac{z-x}{y}\right)\left(\frac{z}{x-y}+\frac{x}{y-z}+\frac{y}{z-x}\right)\)
(chỉ cần làm trường hợp x+y+z=0 thôi nhé)
dat a=x-y
b=y-z
c=z-x
a+b+c=0=x+y+z
\(\left(\frac{a}{z}+\frac{b}{x}+\frac{c}{y}\right)\left(\frac{z}{a}+\frac{x}{b}+\frac{y}{c}\right)\)
dung bumiakopsky de giai
...........................................
Cho x,y,z > 0
Và\(\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}=2015\)
Tính
A = \(\frac{y^2}{x+y}+\frac{z^2}{y+z}+\frac{x^2}{z+x}\)
Cho \(\frac{x}{y-z}+\frac{y}{z-x}+\frac{z}{x-y}=0\)0
Tính Q= \(\frac{x}{\left(y-z\right)^2}+\frac{y}{\left(z-x\right)^2}+\frac{z}{\left(x-y\right)^2}\)
tìm các số chưa biết:
a)\(\frac{x+y+2020}{z}\)=\(\frac{y+z-2021}{x}=\frac{z+x+1}{y}=\frac{2}{x+y+z}\)
b)Với \(x,y,z\ne0\)thỏa:\(\frac{x+y-z}{z}=\frac{y+z-x}{x}=\frac{z+x-y}{y}\)
ta có \(\frac{y+z-x}{x}=\frac{z+x-y}{y}=\frac{x+y-z}{z}\)
\(\Rightarrow\frac{y+x}{z}-1=\frac{z+x}{y}-1=\frac{x+y}{z}-1\)
\(\Rightarrow\frac{y+z}{x}=\frac{z+x}{y}=\frac{x+y}{z}=\frac{2\left(x+y+z\right)}{x+y+z}=2\)
a,Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
\(\frac{x+y+2020}{z}=\frac{y+z-2021}{x}=\frac{z+x+1}{y}=\frac{x+y+y+z+z+x}{x+y+z}=2\)
\(< =>\frac{2}{x+y+z}=2< =>x+y+z=1\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có :
\(\frac{x+y+2020}{z}=\frac{y+z-2021}{x}=\frac{z+x+1}{y}=\frac{x+y+2020+y+z-2021+z+x+1}{x+y+z}\)
\(=\frac{2\left(x+y+z\right)}{x+y+z}=2\)
Mà \(\frac{x+y+2020}{z}=\frac{y+z-2021}{x}=\frac{z+x+1}{y}=\frac{2}{x+y+z}\)
nên \(\frac{2}{x+y+z}=2\)
\(\Rightarrow x+y+z=1\)
Tìm x,y,z thỏa mãn : \(\frac{x}{z+y+z}=\frac{y}{x+z+1}=\frac{z}{x+y-2}=x+y+z\left(x+y+z\ne0\right)\) (nhớ chia làm 2 trg hợp nhé)
xin lỗi, chỉ có 1 trg hợp thôi