a+b+c=0 <=> (a+b+c)²=0

<=>a²+b²+c²+2(ab+bc+ca)=0

<=>a²+b²+c²=-2(ab+bc+ca)

<=>(a²+b²+c²)²=[-2(ab+bc+ca)]²

<=>a⁴+b⁴+c⁴+2(a²b²+b²c²+c²a²)=4(a²b²+b²c²+c²a²)

<=>a⁴+b⁴+c⁴=2(a²b²+b²c²+c²a²) (1)

Lại có  (ab+bc+ca)² = a²b²+b²c²+c²a²+2abc(a+b+c) = a²b²+b²c²+c²a² (vì a+b+c=0) (2)

Từ (1) và (2) => đpcm

Từ ab/(a+b)=bc/(b+c). Nhân chéo suy ra a=c

Chứng minh tương tự suy ra  a=b=c

Thay hết thành a vào M tính ra M=1

Sos

Sos

a/ \(\dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+ac+a^2}\)

\(=\dfrac{a^4}{a^3+a^2b+ab^2}+\dfrac{b^4}{b^3+b^2c+bc^2}+\dfrac{c^4}{c^3+ac^2+ca^2}\)

\(\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a\left(a^2+ab+b^2\right)+b\left(b^2+bc+c^2\right)+c\left(c^2+ca+a^2\right)}\)

\(=\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}\)

b/ \(\dfrac{a^3}{bc}+\dfrac{b^3}{ac}+\dfrac{c^3}{ab}=\dfrac{a^4}{abc}+\dfrac{b^4}{abc}+\dfrac{c^4}{abc}\)

\(\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3abc}=\dfrac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}.3\sqrt[3]{abc}}\)

\(\ge\dfrac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)}=\dfrac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a+b+c}\)

b)

Áp dụng BĐT Cauchy Shwarz, ta có:

\(\left(1+1+1\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\le a^2+b^2+c^2\)

Áp dụng BĐT Cauchy Shwarz dạng Engel, ta có:

\(\dfrac{a^3}{bc}+\dfrac{b^3}{ac}+\dfrac{c^3}{bc}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3abc}\)

\(\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\dfrac{\left(a+b+c\right)^3}{9}}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\dfrac{\left(a+b+c\right)}{3}\times\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)

\(=\dfrac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a+b+c}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c.

Ta có: \(\frac{ab}{a+b}=\frac{bc}{b+c}=\frac{ac}{a+c}.\)

\(\Rightarrow\frac{a+b}{ab}=\frac{b+c}{bc}=\frac{a+c}{ac}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{b}+\frac{1}{a}=\frac{1}{c}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a}=\frac{1}{b}=\frac{1}{c}.\)

\(\Rightarrow a=b=c\)

Khi đó: \(P=\frac{ab^2+bc^2+ac^2}{a^3+b^3+c^3}=1.\)

Vậy \(P=1.\)

Chúc bạn học tốt!

Ta có : \(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0\)

=> \(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc=0\)

=> \(a^2+a^2+b^2+b^2+c^2+c^2-2ab-2ac-2bc=0\)

=> \(\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2=0\)

Ta thấy : \(\left\{{}\begin{matrix}\left(a-b\right)^2\ge0\\\left(a-c\right)^2\ge0\\\left(b-c\right)^2\ge0\end{matrix}\right.\)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}a-b=0\\a-c=0\\b-c=0\end{matrix}\right.\)

=> a=b=c .

Ta có a²+b²+c²-ab-bc-ca=0

<=>2(a²+b²+c²-ab-bc-ca)=0

<=> (a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b\\b=c\\c=a\end{matrix}\right.\)=> a=b=c

T

cho 2 biểu thức mà c/m 1 biểu thức M là sao

Biểu thức N vứt sọt à hay làm cái j v :V

tớ cũng nghĩ vậy nhưng mãi sau mới biết chứng minh M =N rồi chứng minh N >=(a+b+c)/8 để suy ra M  >=(a+b+c)/8

Vào đây nhé: https://hoc24.vn/hoi-dap/question/821240.html?pos=2125078

Mình đã trả lời rồi :3