Đặt A=  \(\frac{a}{3}+\frac{a^2}{2}+\frac{a^3}{6}\) 

=> A= \(\frac{a}{3}+\frac{a^2}{2}+\frac{a^3}{6}\)

\(=\frac{2a}{6}+\frac{3a^2}{6}+\frac{a^3}{6}\) 

\(=\frac{2a+3a^2+a^3}{6}\)

\(=\frac{a\left(a+1\right)\left(a+2\right)}{6}\)

Để A nhận giá trị nguyên => a(a+1)(a+2) phải chia hết cho 6.

  mà a(a+1)(a+2) là 3 số nguyên liên tiếp nên a(a+1)(a+2) chia hết cho 6.

Vậy với a là một số nguyên thì \(\frac{a}{3}+\frac{a^2}{2}+\frac{a^3}{6}\) luôn luôn nhận giá trị nguyên (Đpcm)

   Mình giải đầu tiên đó!!

Ta có \(\frac{a}{3}+\frac{a^2}{2}+\frac{a^3}{6}=\frac{2a}{6}+\frac{3a^2}{6}+\frac{a^3}{6}=\frac{2a+3a^2+a^3}{6}\)

Lại có  2a + 3a² + a³

  =a(2+3a+a²) 

= a(a² + 3a +2)

=a(a² +a +2a +2)

= a[a(a+1) + 2(a+1)]

=a [(a+1) (a+2)]

= a(a+1)(a+2)

ta thấy a(a+1)(a+2) là tích 3 số nguyên liên tiếp 

=> a(a+1)(a+2) \(⋮3\) và \(⋮\)2

mà (2;3)=1

=>  a(a+1)(a+2) \(⋮\)6 

=> \(\frac{a\left(a+1\right)\left(a+2\right)}{6}\) là số nguyên hay \(\frac{a}{3}+\frac{a^2}{2}+\frac{a^3}{6}\) là số nguyên

\(\text{Ta có:}\frac{a}{3}+\frac{a^2}{2}+\frac{a^3}{6}\)

\(\Leftrightarrow\frac{2a+3a^2+a^3}{6}\)

\(\text{Xét tử số:}\)

\(a^3+3a^2+2a=a\left(a^2+3a+2\right)\)

\(=a\left[a\left(a+2\right)+\left(a+2\right)\right]\)

\(=a\left(a+1\right)+\left(a+2\right)\)

\(\text{Vì a,a+1 là 2 số nguyên liên tiếp nên:}\)

\(a\left(a+1\right)⋮2\Rightarrow a\left(a+1\right)\left(a+2\right)⋮2\)

\(\Leftrightarrow a^3+3a^2+2a⋮2\left(1\right)\)

\(\text{Mặt khác }a,a+1,a+2\text{ là 3 số nguyên liên tiếp nên chúng}⋮3\)

\(\Leftrightarrow a\left(a+1\right)\left(a+2\right)⋮3\)

\(\Leftrightarrow a^3+3a^2+2a⋮3\left(2\right)\)

\(\text{Từ (1) và (2) kết hợp (2;3) nguyên tố cùng nhau:}\)

\(\Rightarrow a^3+3a^2+2a⋮6\)

\(\Rightarrow\frac{a^3+3a^2+2a}{6}\inℤ\)

\(\Rightarrow\frac{a}{3}+\frac{a^2}{2}+\frac{a^3}{6}\text{ là 1 số nguyên}\)

từ trang 1 dến 9 có 9 chữ số

từ trang 10 đến 99 có số chữ số là

( 99 - 10 ) : 1 + 1 = 90 số 

để viết 90 số có 2 chữ số cần số chữ số là

90 . 2= 180 chữ số

từ 100 đến 999 có số số là

( 999 - 100 ) : 1 + 1 = 900 số 

để viết 900  số có 3 chữ số cần số chữ số là

900 . 3 = 2700 chữ số

từ 1000 đến 1032 có số số là

( 1032 - 1000 ) : 1 + 1 = 33 số 

để viết 33 số có 4 chữ số ta cần số chữ số là

33 . 4 = 132 chữ số

cần tất cả số chữ số để viết từ 1 đến 1032 là

9 + 180 + 2700 + 132 = 3021 chữ số

 \(\frac{2n+3n^2+n^3}{6}=\frac{1+3n+3n^2+n^3-n-1}{6}=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{6}\)

TÍCH CỦA 3 SỐ TỰ NHIÊN CHIA HẾT CHO 6