\(M=\frac{xy+x+1}{xy+x}=1+\frac{1}{xy+x}\)

Để M nguyên <=> 1 chia hết cho xy +x hay xy +x là ước của 1

=> xy + x = 1 hoặc xy + x = -1

Nếu xy + x = 1 => x.(y+1) = 1 mà x, y nguyên nên x thuộc Ư(1) = {1;-1}

x = 1 => y+ 1 = 1 => y = 0

x = -1 => y + 1 = -1 => y = -2

Nếu xy + x = -1 => x.(y+1)= -1 => x thuộc Ư(1) = {1;-1}

x = 1 => y + 1 = -1 => y = -2

x = -1 => y + 1 = 1 =>y =  0

Vậy (x;y) = (1;0); (-1; -2); (1;-2); (-1;0)

ta có 

\(M=\frac{xy+x+4+1}{xy+x+4}=1+\frac{1}{xy+x+4}\) nguyên khi

\(\orbr{\begin{cases}xy+x+4=1\\xy+x+4=-1\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x\left(y+1\right)=-3\\x\left(y+1\right)=-5\end{cases}}}\)

TH1:\(x\left(y+1\right)=-3\Rightarrow x\in\left\{-3,-1,1,3\right\}\text{ tương ứng }y\in\left\{0,2,-4,-2\right\}\)

TH2:\(x\left(y+1\right)=-5\Rightarrow x\in\left\{-5,-1,1,5\right\}\text{ tương ứng }y\in\left\{0,4,-6,-2\right\}\)

Ta có \(M=\frac{xy+x+5}{xy+x+4}=\frac{xy+x+4+1}{xy+x+4}=1+\frac{1}{xy+x+4}\)

\(M\inℤ\Leftrightarrow1⋮xy+y+4\)

=> \(xy+y+4\inƯ\left(1\right)\)

=> \(xy+y+4\in\left\{1;-1\right\}\)

=> \(xy+y\in\left\{-3;-5\right\}\)

Khi xy + x = -3

=> x(y + 1) = -3 

Lập bảng xét các trường hợp 

Nếu xy + x = -5

=> x(y + 1) = -5

Lập bảng xét các trường hợp 

Vậy các cặp (x;y) thỏa mãn là (1;-4) ; (-1 ; 2) ; (3 ; -2) ; (-3 ; 0) ; (1 ;- 6) ; (-5 ; 0) ; (5 ; -2) ; (-1;4) 

có rảnh 

\(-\frac{1}{2016}\\ -1;0;2;3\\1 \)

a, 2015x=1/2016:(-1.2015)

2015x= -2015/2016

x=  -2015/2016 :2015

x= -1/2016

b, M=3n-1/n-1=3(n-1)+2/n-1=3+  2/n-1 

để M thuộc Z thì 2/n-1 thuộc z (vì 3 thuộc Z)

<=>n-1 thuộc Ư(2)

<=>n-1 thuộc (1,-1,2,-2)

<=>n thuộc (2,0,3,-1)

vậy....

\(A=\frac{xy+2y+1}{xy+x+y+1}+\frac{yz+2z+1}{yz+y+z+1}+\frac{zx+2x+1}{zx+z+x+1}\)

\(=\frac{y\left(x+1\right)+y+1}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}+\frac{z\left(y+1\right)+z+1}{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}+\frac{x\left(z+1\right)+x+1}{\left(z+1\right)\left(x+1\right)}\)

\(=\frac{y}{y+1}+\frac{1}{x+1}+\frac{z}{z+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{x}{x+1}+\frac{1}{z+1}\)

\(=\frac{y+1}{y+1}+\frac{z+1}{z+1}+\frac{x+1}{x+1}=3\)

\(x;y;z\ne0\). Giả thiết của đề bài:

\(\frac{xy}{x+y}=\frac{yz}{y+z}=\frac{xz}{z+x}\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}=\frac{y+z}{yz}=\frac{x+z}{xz}\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\Leftrightarrow\frac{1}{x}=\frac{1}{y}=\frac{1}{z}.\)

=> x = y = z

Do đó, M = 1.