chứng minh rằng một tứ giác lồi nội tiếp trong một tam giác đều có cạnh bằng 2006 thì không thể có cả bốn cạnh đều lớn hơn 1003
ai giải được cho 4 tick
Một tứ giác lồi có độ dài bốn cạnh đều là số tự nhiên sao cho tổng ba số bất kì trong chúng chia hết cho số còn lại. Chứng minh rằng tứ giác đó có ít nhất hai cạnh bằng nhau.
Một tứ giác lồi có độ dài bốn cạnh đều là số tự nhiên sao cho tổng ba số bất kì trong chúng chia hết cho số còn lại. Chứng minh rằng tứ giác đó có ít nhất hai cạnh bằng nhau.
Cho tứ giác lồi ABCD có AC=8 và BD=6. a) CMR trong bốn cạnh của tứ giác tồn tại một cạnh có độ dài nhỏ hơn hoặc bằng 7. b) CMR trong bốn cạnh của tứ giác tồn tại một cạnh có độ dài lớn hơn hoặc bằng 5.
Giải giúp mình với ạ?
a) Gọi giao của AC và BD là O
sử dụng bất đẳng thức tam giác , ta có:
OA+OB>AB
OB+OC>BC
OC+OD>CD
OD+OA>AD
cộng các về lại ta được: 2(AC+BD)>chu vi tứ giác ABCD
==> cvi ABCD<28
theo nguyên lý đi rích lê có 28 chia cho 4 cạnh thì luôn có 1 cạnh nhỏ hơn 7
Một tứ giác lồi có 4 cạnh đều là số tự nhiên sao cho tổng 3 số bất kì trong chúng chia hết cho số còn lại. Chứng minh rằng tứ giác đó có ít nhất 2 cạnh bằng nhau ?
Ta sẽ dùng phản chứng
Gọi 4 cạnh của tứ giác là a , b , c , d ( a,b,c,d \(\inℕ^∗\))
Giả sử không có bất kì 2 cạnh nào bằng nhau
Đặt \(\hept{\begin{cases}x=\frac{b+c+d}{a}\\y=\frac{c+d+a}{b}\\z=\frac{d+a+b}{c}\end{cases}}\left(x;y;z\inℕ^∗\right)\)(Do tổng 3 cạnh bất kì chia hết cho cạnh còn lại)
Theo bất đẳng thức trong tứ giác thì dễ thấy \(x;y;z>1\)
Mà x,y,z là số tự nhiên nên \(x;y;z\ge2\)
Không mất tính tổng quát của bài toán ta giả sử a > b > c > d thì khi đó x < y < z
Ta có : \(\hept{\begin{cases}x\ge2\\y>x\end{cases}}\Rightarrow y\ge3\)
tương tự : \(z\ge4\)
Từ điều giả sử\(\Rightarrow\) \(\hept{\begin{cases}b+c+d\ge2a\\c+d+a\ge3b\\d+a+b\ge4c\end{cases}}\)
Cộng 3 vế vào ta được \(2a+2b+2c+3d\ge2a+3b+4c\)
\(\Rightarrow3d\ge b+2c\)(Vô lí do b > c > d)
Nên điều giả sử là sai
Vậy luôn tồn tại ít nhất 2 cạnh bằng nhau trong tứ giác đó
Cho ABCDEF là lục giác lồi nội tiếp đường tròn bán kính R có các cạnh AB=CA=EF=R. Chứng minh rằng trung điểm 3 cạnh BC, DE, FA là đỉnh của một tam giác đều.
Ta cần chứng minh tam giác MNP là tam giác cân và có một góc bằng \(\frac{\Pi}{3}\)
Giả sử lục giacs có hướng âm, kí hiệu \(f\) là phép quay vec tơ theo góc \(-\frac{\Pi}{3}\) và M, N. P theo thứ tự là trung điểm FA, BC, DE
Khi đó AB=BO, CD=DO=OC, EF=FO=OE nên các tam giác ABO, CDO, EFO đều và có hướng âm
Suy ra \(f\left(\overrightarrow{AB}\right)=\overrightarrow{AO}\), \(f\left(\overrightarrow{OC}\right)=\overrightarrow{OD}\), \(f\left(\overrightarrow{FO}\right)=\overrightarrow{FE}\)
Từ đó ta có :
\(f\left(\overrightarrow{MN}\right)=f\left(\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{FC}\right)\right)=\frac{1}{2}\left(f\left(\overrightarrow{AB}\right)+f\left(\overrightarrow{FC}\right)\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AO}\right)+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{FE}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{FE}\right)\)
\(=\overrightarrow{MP}\)
Suy ra tam giác MNP cân và có góc PMN = \(\frac{\Pi}{3}\) => Điều phải chứng minh
Ở miền trong của một hình vuông cạnh bằng 1 có một tứ giác lồi diện tích lớn hơn 1/2 . Chứng minh rằng tồn tại một đoạn thẳng có hai đầu mút ở trên cạnh của tứ giác, song song với cạnh của hình vuông và có độ dài lớn hơn 1/2
xin lỗi nha, mk ms lp 8 thoy
a) chứng minh rằng 2 tứ giác lồi có các cặp cạnh tương ứng bằng nhau và một cặp đường chéo tương ứng bằng nhau thì bằng nhau .
b) chứng minh rằng 2 tứ giác lồi có các cặp cạnh tương ứng bằng nhau và một cặp góc tương ứng bằng nhau thì bằng nhau .
c) 2 tứ giác lồi có các cặp cạnh tương ứng bằng nhau thì có bằng nhau hay không ?
a) chứng minh rằng 2 tứ giác lồi có các cặp cạnh tương ứng bằng nhau và một cặp đường chéo tương ứng bằng nhau thì bằng nhau .
b) chứng minh rằng 2 tứ giác lồi có các cặp cạnh tương ứng bằng nhau và một cặp góc tương ứng bằng nhau thì bằng nhau .
c) 2 tứ giác lồi có các cặp cạnh tương ứng bằng nhau thì có bằng nhau hay không ?
tứ giác lồi ABCD có AC = 8 , BD =6 . chứng minh rằng :
a , tồn tại một cạnh của tứ giác nhỏ hơn 7
b, tồn tại một cạnh của tứ giác lớn hơn hoặc bằng 5