Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của \(\Delta\). Chứng minh rằng
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Cho độ dài 3 cạnh của một tam giác
Chứng minh rằng :\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Áp dụng BĐT Cô-si dạng Engel,ta có :
\(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{b+c-a+c+a-b}=\frac{2}{c}\)
\(\frac{1}{c+a-b}+\frac{1}{a+b-c}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{c+a-b+a+b-c}=\frac{2}{a}\)
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b-c+b+c-a}=\frac{2}{b}\)
Cộng lại theo vế rồi chia cho 2, ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c
Bài làm:
Ta xét: \(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b-c+b+c-a}=\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\)(BĐT Cauchy dạng cộng mẫu)
Tương tự ta chứng minh được:
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{2}{a}\)và \(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{2}{c}\)
Cộng vế 3 bất đẳng thức trên ta được:
\(2\left(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\right)\ge\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c\)
Sa
Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh rằng: \(2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)\ge\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+3\)
Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác có chu vi bằng 3. Chứng minh rằng:
\(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge\frac{3}{2}\)
cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác và abc=1. Chứng minh rằng: \(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge ab+bc+ca\)
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác
Chứng minh rằng: \(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Áp dụng BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) ta có:
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{4}{a+b-c+b+c-a}=\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\)
Tương tự cho các BĐT còn lại có:
\(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{2}{c};\frac{1}{c+a-b}+\frac{1}{a+b-c}\ge\frac{2}{a}\)
Cộng theo vế các BĐT trên ta có:
\(2VT\ge\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}=2VP\Rightarrow VT\ge VP\)
ĐẲng thức xảy ra khi \(a=b=c\)
a) Cho x, y, z > 0 thỏa mãn \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4\)
Chứng minh rằng : \(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le1\)
b) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác . Chứng minh :
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{a+c-b}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
c) Cho a, b, c > 0 thỏa mãn : abc = ab + bc + ca . Chứng minh :
\(\frac{1}{a+2b+3c}+\frac{1}{b+2c+3a}+\frac{1}{c+2a+3b}\le\frac{3}{16}\)
a) Chứng minh được BĐT \(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)(*)
Dấu "=" xảy ra <=> a=b
Áp dụng BĐT (*) vào bài toán ta có:
\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{2x+y+z}=\frac{1}{x+y+x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\right)\\\frac{1}{x+2y+z}=\frac{1}{x+y+y+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}\right)\\\frac{1}{x+y+2z}=\frac{1}{x+y+z+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z}\right)\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{4}\cdot2\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)\)
Tiếp tục áp dụng BĐT (*) ta có:
\(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right);\frac{1}{y+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right);\frac{1}{z+x}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{4}\cdot2\cdot\frac{1}{4}\cdot2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=1\)
\(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le1\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(x=y=z=\frac{3}{4}\)
b) áp dụng bđt \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)ta có:
\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{4}{a+b-c+b+c-a}=\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\\\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+c-b}\ge\frac{4}{b+c-a+a+c-b}=\frac{4}{2c}=\frac{2}{c}\\\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{a+c-b}\ge\frac{4}{a+b-c+a+c-b}=\frac{4}{2a}=\frac{2}{a}\end{cases}}\)
Cộng theo vế 3 BĐT ta có:
\(2VT\ge\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}=2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=2VP\)
\(\Rightarrow VT\ge VP\)
Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c
a)
Áp dụng BĐT Bunyakovsky dạng phân thức
b)
Áp dụng BĐT \(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\ge\frac{4}{m+n}\)
c)
Viết giả thiết lại thành \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\)sau đó làm như câu a
EZ game
Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác và a+b+c=3.CMR:
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Bài này là bài chốt trong đề thi hsg toán 9 cấp huyện năm nay của đức thọ đó!
bạn vào Thư viện đề thi THCS Hoàng Xuân Hãn rồi bấm vào mục ở dưới dưới ak tên mục là
Đáp án đề thi hsg toán 9 huyện Đức Thọ năm học 2018-2019 Đây là bài cuối của đề ak!
mk gửi hình rồi đó! bạn có thấy nó hiện ra chưa?
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác và \(P=\frac{a+b+c}{2}\). Chứng minh rằng:
\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\).
Link https://lazi.vn/edu/exercise/cho-a-b-c-la-do-dai-3-canh-cua-mot-tam-giac-va-p-la-nua-chu-vi-chung-minh-1-p-a-1-p-b-1-p-c-21-a-a-b-1-c
cho a, b, c>0. CMR a\(\frac{a^3}{b}\ge a^2+ab-b^2\)
CM \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}\)
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác CM \(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Tự nhiên lục được cái này :'(
3. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b-c+b+c-a}=\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\)
\(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{b+c-a+c+a-b}=\frac{4}{2c}=\frac{2}{c}\)
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b-c+c+a-b}=\frac{4}{2a}=\frac{2}{a}\)
Cộng theo vế ta có điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c