Gọi hai số chính phương liên tiếp là \(k^2\)và \(\left(k+1\right)^2\)

Ta có: \(k^2+\left(k+1\right)^2+k^2\left(k+1\right)^2\)

\(=k^2+k^2+2k+1+k^4+2k^3+k^2\)

\(=k^4+2k^3+3k^2+2k+1=\left(k^2+k+1\right)^2\)

\(=\left[k\left(k+1\right)+1\right]^2\)là số chính phương lẻ

Vậy tổng của 2 số đó cộng với tích của chúng là 1 số chính phương lẻ ( đpcm )

Gọi hai số chính phương liên tiếp đó là k^2 và (k+1)^2
Ta có:
k^2+(k+1)^2+k^2.(k+1)^2
=k^2+k^2+2k+1+k^4+2k^3+k^2
=k^4+2k^3+3k^2+2k+1
=(k^2+k+1)^2
=[k(k+1)+1]^2 là số chính phương lẻ.

Vì là hai số chính phương liên tiếp 

nên ta đặt hai số đó là k² và (k+1)² ( k ∈ Z )

Theo đề bài ta có : k² + ( k + 1 )² + k²(k+1)²

= k² + k² + 2k + 1 + ( k² + k )²

= k⁴ + 2k³ + 3k² + 2k + 1

= ( k⁴ + k³ + k² ) + ( k³ + k² + k ) + ( k² + k + 1 )

= k²( k² + k + 1 ) + k( k² + k + 1 ) + ( k² + k + 1 )

= ( k² + k + 1 )² = [ k( k + 1 ) + 1 ]²

Vì k ; k+1 là hai số nguyên liên tiếp nên sẽ có 1 số chia hết cho 2 

=> k( k + 1 ) chẵn => k( k + 1 ) + 1 lẻ

=> [ k( k + 1 ) + 1 ]² là một số chính phương lẻ (đpcm)

gọi 2 số chính phương liên tiếp là k^2 và (k + 1)^2

theo đề bài ta có : 

k^2 + (k+1)^2 + k^2(k+1)^2 

= k^2 + k^2 + 2k + 1 + k^2(k^2 + 2k + 1)

= 2k^2 + 2k + 1 + k^4 + 2k^3 + k^2

= k^4 + 2k^3 + 3k^2 + 2k + 1

= k^4 + k^2 + 1 + 2k^3 + 2k^2  + 2k 

= (k^2 + k + 1)^2

= [k(k+1)+1]^2

k(k+1) chia hết cho 2 (2 số tự nhiên liên tiếp) => k(k+1) +1 lẻ

=> [k(k+1)+1)^2 là số chính phương lẻ

Giả sử hai số chính phương liên tiếp đó là \(a^2,\left(a+1\right)^2\)

Ta có : \(a^2+\left(a+1\right)^2+a.\left(a+1\right)\)

\(=a^2+a^2+2a+1+a^2+a\)

\(=3a^2+3a+1\)

.....