Cho \(0\le a,b,c\le2\) và \(a+b+c=3\). Chứng minh rằng \(a^2+b^2+c^2\le5\).
Những câu hỏi liên quan
cho 3 số a,b,c sao cho \(0\le a\le2;0\le b\le2;0\le c\le2\)
và a+b+c=3. chứng minh rằng \(a^2+b^2+c^2\le5\)
Cho 3 số a, b, c sao cho :
\(0\le a\le2\); \(0\le b\le2\); \(0\le c\le2\) và a + b + c = 3.
Chứng minh rằng : \(a^2+b^2+c^2\le5\).
cho \(0\le a\le2,0\le b\le2,0\le c\le2\) và a+b+c=3.chứng minh \(a^2+b^2+c^2\le5\)
\(\left(2-a\right)\left(2-b\right)\left(2-c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow8-4\left(a+b+c\right)+2\left(ab+bc+ca\right)-abc\ge0\)
\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ca\right)\ge4\left(a+b+c\right)-8+abc\)
\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ca\right)\ge12-8+abc\ge4\)
\(\Rightarrow2\left(ab+bc+ca\right)\ge4\)
\(\Rightarrow-2\left(ab+bc+ca\right)\le-4\)
\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=9\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2=9-2\left(ab+bc+ca\right)\le9-4=5\)(Đpcm)
Dấu = khi \(\hept{\begin{cases}\left(2-a\right)\left(2-b\right)\left(2-c\right)=0\\abc=0\\a+b+c=3\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(a;b;c\right)=\left(2;1;0\right)\)và hoán vị.
Đúng 0
Bình luận (0)
a = 2 ( t/m )
b = 1 ( t/m )
c = 0 ( t/m )
vậy \(a^2+b^2+c^2\le5\)
Đúng 0
Bình luận (0)
(Hòa Bình)
Cho \(a,b,c\) là ba số thỏa mãn các điều kiện \(0\le a,b,c\le2\) và \(a+b+c=3\). Chứng minh rằng \(a^2+b^2+c^2\le5\).
(Bình Định)
Cho \(a,b,c\) là ba số dương. Chứng minh bát đẳng thức sau:
\(\frac{a^5}{bc}+\frac{b^5}{ca}+\frac{c^5}{ab}\ge a^3+b^3+c^3\).
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel và bất đẳng thức AM-GM ta có :
\(\frac{a^5}{bc}+\frac{b^5}{ca}+\frac{c^5}{ab}=\frac{a^6}{abc}+\frac{b^6}{abc}+\frac{c^6}{abc}\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{3abc}=\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)}{3abc}\ge\frac{3abc\left(a^3+b^3+c^3\right)}{3abc}=a^3+b^3+c^3\)( đpcm )
Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c
cho \(0\le a,b,c\le2\)và a+b+c=3
chứng minh \(^{a^3+b^3+c^3\le5}\)
Cho \(0\le a,b,c\le2\)và a + b + c = 3 . CMR : \(a^2+b^2+c^2\le5\).
từ gt \(\Rightarrow\)abc>0 => (2-a)(2-b)(2-c)>0 =>
8+2(ab+bc+ca)−4(a+b+c)−abc≥0 => 2(ab+bc+ca) \(\ge\)4 + abc \(\ge\)4
=> (a+b+c)^2≥4+a2+b2+c2 => a^2+b^2+c^2 \(\le\) 5
Đúng 0
Bình luận (0)
Chứng minh rằng nếu \(0< b< a\le2\) và \(2ab\le2b+a\) thì \(a^2+b^2\le5\)
cho \(0\le a\le2;0\le b\le2;0\le c\le2\) và a+b+c=3. Chứng minh a^2+b^2+c^2\(\le\)5
Vì \(0\le a\le2;0\le b\le2;0\le c\le2\Rightarrow\left(2-a\right)\left(2-b\right)\left(2-c\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow8-4\left(a+b+c\right)+2\left(ab+bc+ca\right)-abc\ge0\)\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ca\right)\ge4\left(a+b+c\right)-8+abc\ge4\)\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ca\right)\ge12-8+abc\ge4\)
\(\Rightarrow\)\(2\left(ab+bc+ca\right)\ge4\)
\(\Leftrightarrow-2\left(ab+bc+ca\right)\le-4\)
Ta có :
\(a+b+c=3\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=9\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=9\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2=9-2\left(ab+bc+ca\right)\le9-4=5\Rightarrowđpcm\)Đẳng thức xảy ra khi
\(\left(2-a\right)\left(2-b\right)\left(2-c\right)=0\)
\(\left[{}\begin{matrix}2-a=0\\2-b=0\\2-c=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=2\\b=2\\c=2\end{matrix}\right.\)
Đúng 0
Bình luận (0)